Considere os pontos
e
. Escreva equações nas formas vetorial, paramétrica e simétrica para a reta
determinada por eles. Verifique se o ponto
pertence a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois pontos no espaço,
e
. A missão é escrever as equações da reta
que passa por esses pontos nas formas vetorial, paramétrica e simétrica. Depois, vamos verificar se o ponto
está nessa reta. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica no espaço, como vetor diretor e parametrização de retas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta
. Esse vetor é essencialmente a “direção” da reta e pode ser encontrado subtraindo as coordenadas de
das de
:
Então, o vetor diretor é
.
Passo 3
Agora, vamos escrever a equação vetorial da reta
. A forma vetorial é dada por:
Substituindo os valores que temos:
Aqui,
é um parâmetro real que pode variar.
Passo 4
Em seguida, vamos para a forma paramétrica da reta. Isso significa separar cada componente da equação vetorial:
Essas três equações descrevem a reta
em termos de
.
Passo 5
Agora, vamos escrever a forma simétrica da reta. Para isso, resolvemos cada equação paramétrica para
:
Então, a forma simétrica é:
Passo 6
Por último, vamos verificar se o ponto
pertence à reta
. Para isso, a gente precisa ver se existe um valor de
que satisfaz todas as três equações paramétricas para as coordenadas de
.
Vamos resolver para
usando cada coordenada:
Para
:
Para
:
Para
:
Os valores de
não são iguais nos três casos, o que significa que não existe um único
que satisfaça todas as coordenadas de
.
Resposta
A reta [r) determinada pelos pontos
e
tem as seguintes equações:
- Forma Vetorial:
- Forma Paramétrica:
- Forma Simétrica:
E o ponto .