Considere os pontos B=(-4,2,5)Sigma e C=(4,-7,6)Sigma. Escreva equações nas formas vetorial, paramétrica e simétrica para a reta r determinada por eles. Verifique se o ponto D=(3,1,4)Sigma pertence a r.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois pontos no espaço, B = (-4, 2, 5)Sigma e C = (4, -7, 6)Sigma . A missão é escrever as equações da reta r que passa por esses pontos nas formas vetorial, paramétrica e simétrica. Depois, vamos verificar se o ponto D = (3, 1, 4)Sigma está nessa reta. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica no espaço, como vetor diretor e parametrização de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta r . Esse vetor é essencialmente a “direção” da reta e pode ser encontrado subtraindo as coordenadas de B das de C :
v = C - B = (4 - (-4), -7 - 2, 6 - 5) = (8, -9, 1)
Então, o vetor diretor é v = (8, -9, 1) .

Passo 3

Agora, vamos escrever a equação vetorial da reta r . A forma vetorial é dada por:
r = B + tv
Substituindo os valores que temos:
r = (-4, 2, 5) + t(8, -9, 1)
Aqui, t é um parâmetro real que pode variar.

Passo 4

Em seguida, vamos para a forma paramétrica da reta. Isso significa separar cada componente da equação vetorial:
x = -4 + 8t
y = 2 - 9t
z = 5 + t
Essas três equações descrevem a reta r em termos de t .

Passo 5

Agora, vamos escrever a forma simétrica da reta. Para isso, resolvemos cada equação paramétrica para t :
t = x + 48 = 2 - y9 = z - 51
Então, a forma simétrica é:
x + 48 = 2 - y9 = z - 51

Passo 6

Por último, vamos verificar se o ponto D = (3, 1, 4)Sigma pertence à reta r . Para isso, a gente precisa ver se existe um valor de t que satisfaz todas as três equações paramétricas para as coordenadas de D .
Vamos resolver para t usando cada coordenada:
Para x :
3 = -4 + 8t implies 8t = 7 implies t = 78
Para y :
1 = 2 - 9t implies -9t = -1 implies t = 19
Para z :
4 = 5 + t implies t = -1
Os valores de t não são iguais nos três casos, o que significa que não existe um único t que satisfaça todas as coordenadas de D .

Resposta

A reta [r) determinada pelos pontos e tem as seguintes equações:
  • Forma Vetorial:
  • Forma Paramétrica:
  • Forma Simétrica:
E o ponto .

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