Encontre as equações vetorial e geral das retas que passam pelos pontos P_{0} e P_{1}, abaixo.
P_{0}=(3,4) e P_{1}=(1,2)

Passo 1

O enunciado pede a equação vetorial e a equação geral da reta determinada pelos pontos P_{0}=(3,4) e P_{1}=(1,2).
O conteúdo é Geometria Analítica no plano: vamos usar o vetor diretor (diferença entre os pontos) para obter primeiro a forma vetorial da reta e depois extrair a forma geral ax+by+c=0.

Passo 2

Calculamos o vetor diretor \vec d como a diferença entre P_{1} e P_{0}:
\vec d = P_{1} - P_{0} = (1 - 3,\;2 - 4) = (-2,\,-2).

Passo 3

A equação vetorial de uma reta que passa por um ponto \vec r_{0} e tem direção \vec d é
\vec r = \vec r_{0} + t\,\vec d,\quad t\in\mathbb R.
Tomando \vec r_{0} = (3,4), temos
(x,y) = (3,4) + t\,(-2,-2),
ou seja,
x = 3 - 2t,\quad y = 4 - 2t,\quad t\in\mathbb R.

Passo 4

Para passar à forma geral ax + by + c = 0, escolhemos um vetor normal \vec n perpendicular a \vec d. Uma escolha é
\vec n = (d_{2},\, -d_{1}) = (-2,\,2).
Logo a equação tem a forma
-2x + 2y + c = 0.
Substituímos um dos pontos, por exemplo (3,4), para achar c:
-2\cdot 3 + 2\cdot 4 + c = 0 \quad\implies\quad -6 + 8 + c = 0 \quad\implies\quad c = -2.
Assim a forma geral fica
-2x + 2y - 2 = 0.
Dividindo por 2 e multiplicando por -1 para simplificar:
x - y + 1 = 0.

Resposta

Equação vetorial:
(x,y) = (3,4) + t\,(-2,-2),\quad t\in\mathbb R.
Equação geral:
x - y + 1 = 0.

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