Calcule, caso existam, os limites abaixo.
lim substackx +infty x -infty(raizx^2+1-x)

Passo 1

O enunciado pede os dois limites
limxto+inftyl(raizx^2+1-xr) e
limxto-inftyl(raizx^2+1-xr).
O conteúdo envolve limites no infinito de expressão com raiz quadrada. Para resolver, vamos racionalizar o radical multiplicando pelo conjugado.

Passo 2

Racionalizamos a expressão:
raizx^2+1-x = (raizx^2+1-x)(raizx^2+1+x)raizx^2+1+x = x^2+1 - x^2raizx^2+1+x = 1raizx^2+1+x
Para xto+infty temos raizx^2+1sim x, logo
raizx^2+1+xto+infty Longrightarrow limxto+infty1raizx^2+1+x=0

Passo 3

Para xto-infty ainda vale
raizx^2+1-x=1raizx^2+1+x
Quando x é grande e negativo, raizx^2+1=|x|raiz1+1/x^2=-xraiz1+1/x^2, então
raizx^2+1+x =-xl(raiz1+1/x^2-1r) sim -xcdot12x^2 =-12xto0^+
O denominador tende a zero positivo, daí
limxto-infty1raizx^2+1+x=+infty

Resposta

limxto+inftyl(raizx^2+1-xr)=0
limxto-inftyl(raizx^2+1-xr)=+infty

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