Encontre o erro na seguinte “prova”: em qualquer grupo com
pessoas, todas elas têm a mesma idade.
Se um grupo consiste de uma pessoa, todas têm a mesma idade.
Suponha que em qualquer grupo com
pessoas, todas têm a mesma idade.
Sejam
as pessoas em um grupo com
pessoas.
Desde que as pessoas
e
formam grupos com
pessoas, todas elas têm a mesma idade, por hipótese de indução.
Desde que
está em cada um destes grupos, segue que todas as
pessoas
têm a mesma idade.
Se um grupo consiste de uma pessoa, todas têm a mesma idade.
Suponha que em qualquer grupo com
Sejam
Desde que as pessoas
Desde que
Passo 1
O enunciado tenta provar, por indução em
, que em qualquer grupo com
pessoas todas têm a mesma idade. O conteúdo usado é o Princípio da Indução Matemática e a ideia de sobrepor dois subgrupos de tamanho
para concluir que um grupo de tamanho
também é uniforme em idade.
Passo 2
Verificamos a base
. Num grupo com uma única pessoa é claro que todas (isto é, essa única pessoa) têm a mesma idade. Logo, a propriedade é verdadeira para
.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que todo grupo com
pessoas seja formado por indivíduos da mesma idade.
Passo 4
Passo de indução (pretendido): para um grupo de
pessoas
, consideram-se os dois subgrupos de tamanho
e
.
Pela hipótese de indução, cada um desses subgrupos é uniforme em idade. Como pertence a ambos, conclui-se que todos os
membros têm a mesma idade.
Pela hipótese de indução, cada um desses subgrupos é uniforme em idade. Como
Passo 5
Análise do erro: o argumento de sobreposição falha quando
. Nesse caso,
e os “subgrupos” são
e
. Cada um tem tamanho
e é uniforme, mas sua interseção
é vazia. Não há elemento comum para igualar idades, e portanto não se pode passar de
para
. A indução não se inicia corretamente nesse passo.
Resposta
O erro está em assumir que os dois subgrupos de tamanho
sempre têm interseção não vazia; isso não vale para
, onde os subgrupos
e
não se sobrepõem.