Considere A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right).
(a) Calcule A^{2} e A^{3} para determinar uma fórmula possível para A^{n}, n \geq 1.
(b) Use indução para mostrar que a fórmula obtida em (a) é verdadeira.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[6pt] 0 & 1\end{pmatrix}
e pede (a) calcular A^2 e A^3 para conjecturar uma fórmula para A^n e (b) provar essa fórmula por indução. Aqui usaremos multiplicação de matrizes e o princípio de indução matemática.]

Passo 2

Calculemos primeiro
A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[3pt]0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1 \\[3pt]0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 1\cdot0 & 1\cdot1 + 1\cdot1 \\[4pt] 0\cdot1 + 1\cdot0 & 0\cdot1 + 1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[3pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Em seguida
A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[3pt]0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1 \\[3pt]0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 2\cdot0 & 1\cdot1 + 2\cdot1 \\[4pt] 0\cdot1 + 1\cdot0 & 0\cdot1 + 1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 3 \\[3pt]0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Observamos que os resultados sugerem a fórmula
A^n = \begin{pmatrix}1 & n \\[3pt]0 & 1\end{pmatrix}, \quad n\ge1.]

Passo 4

Agora provamos por indução em n.
Base n=1:
A^1 = A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[3pt]0 & 1\end{pmatrix},
que coincide com a fórmula para n=1.
Passo indutivo: suponha que para certo k\ge1 valha
A^k = \begin{pmatrix}1 & k \\[3pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Então
A^{k+1} = A^k \cdot A = \begin{pmatrix}1 & k \\[3pt]0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1 \\[3pt]0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & k+1 \\[3pt]0 & 1\end{pmatrix},
mostrando que a fórmula vale também para k+1. Assim, por indução, vale para todo n\ge1.]

Resposta

A^n = \begin{pmatrix}1 & n \\[3pt]0 & 1\end{pmatrix},\quad n\ge1.]

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