Use indução matemática para estabelecer cada desigualdade abaixo.
, para
.
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução matemática, que, para todo inteiro
, vale a desigualdade
O conteúdo é indução: verificamos o caso base e depois mostramos o passo indutivo.
Passo 2
(Caso base) Para
calculamos a soma
Como
, temos
Logo, a desigualdade funciona em
.
Passo 3
(Hipótese de indução) Suponha que, para algum
, já seja verdade que
Passo 4
(Passo indutivo) Precisamos mostrar que
Pela hipótese de indução, o lado esquerdo é maior que
Portanto basta verificar que
Reescrevendo,
Como
, temos
o que mostra a desigualdade que queríamos. Assim o passo indutivo está completo.
Resposta
Portanto, por indução matemática, para todo
vale