Use indução matemática para estabelecer cada desigualdade abaixo.
1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}>\sqrt{n}, para n \geq 2.

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução matemática, que, para todo inteiro n\ge2, vale a desigualdade
1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} > \sqrt{n}.
O conteúdo é indução: verificamos o caso base e depois mostramos o passo indutivo.

Passo 2

(Caso base) Para n=2 calculamos a soma
1 + \frac{1}{\sqrt{2}}.
Como \frac{1}{\sqrt{2}}\approx0{,}707, temos
1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\approx1{,}707 > \sqrt{2}\approx1{,}414.
Logo, a desigualdade funciona em n=2.

Passo 3

(Hipótese de indução) Suponha que, para algum n\ge2, já seja verdade que
1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} > \sqrt{n}.

Passo 4

(Passo indutivo) Precisamos mostrar que
1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} > \sqrt{n+1}.
Pela hipótese de indução, o lado esquerdo é maior que
\sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n+1}}.
Portanto basta verificar que
\sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n+1}} > \sqrt{n+1}.
Reescrevendo,
\frac{1}{\sqrt{n+1}} > \sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}.
Como \sqrt{n+1} + \sqrt{n} > \sqrt{n+1}, temos
\frac{1}{\sqrt{n+1}} < \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}},
o que mostra a desigualdade que queríamos. Assim o passo indutivo está completo.

Resposta

Portanto, por indução matemática, para todo n\ge2 vale
1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} > \sqrt{n}.

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