18- Duas partículas estão fixas em um eixo x: partícula 1 de carga
em
e partícula 2 de carga
em
. Determine a coordenada do eixo na qual o campo elétrico resultante produzido pelas particulas é igual a zero.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Cargas e posições (peguei esses números do enunciado):
-
em . -
em .
-
- O enunciado pede: determinar a coordenada
ao longo do eixo onde o campo elétrico resultante produzido pelas duas partículas é igual a zero, ou seja, encontrar tal que .
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática).
- Campo elétrico criado por uma carga pontual: para um ponto a uma distância
da carga, o módulo do campo é
onde
.
- Direção do campo:
- Se a carga é positiva, o campo aponta para fora (afasta-se da carga).
- Se a carga é negativa, o campo aponta para a carga (direção oposta ao vetor posição).
- No eixo
podemos tratar o campo como quantidade com sinal: escolhemos o sentido positivo para a direita. Então o campo produzido por uma carga em um ponto terá sinal positivo se aponta para a direita e negativo se aponta para a esquerda. - Para achar um ponto onde o campo total é zero, somamos os campos vetoriais (com sinal) das duas cargas e forçamos essa soma igual a zero. O fator
vai aparecer em ambos os termos e normalmente se cancela.
Passo 3
Primeiros números e simplificações (conversões de unidades e valor de
).
- Converter posições para metros (trabalhar em SI facilita):
- Calcular
usando :
Passo 4
Analisar onde pode existir ponto com
(razão física, sem contas ainda).
- Existem três regiões ao longo do eixo
: - Região à esquerda de ambas as cargas:
. - Região entre as cargas:
. - Região à direita de ambas:
.
- Região à esquerda de ambas as cargas:
- Determinar direções dos campos em cada região:
- Para
: o campo devido a aponta para fora de (para a esquerda se , para a direita se ). - Para
: o campo devido a aponta em direção a (para a direita se , para a esquerda se ).
- Para
- Consequências:
- Na região entre as cargas (
) ambos os campos apontam na mesma direção (para a direita): portanto não é possível cancelarem-se — descartamos essa região. - Nas regiões exteriores (à esquerda de ambas e à direita de ambas) os campos têm direções opostas, então a anulação é possível. Logo temos que procurar solução em
e em .
- Na região entre as cargas (
Passo 5
Equação do equilíbrio do campo na região à esquerda de ambas as cargas (
). Montar a equação com explicação.
- Em
(distâncias positivas): campo devido a aponta para a esquerda (sinal negativo) e campo devido a aponta para a direita (sinal positivo). Para que os módulos devem ser iguais:
- Cancelando
e sabendo que (pois ), obtemos
- Cancelando
(não nulo) e simplificando:
- Tomando raiz quadrada (distâncias são positivas na região considerada), fica
- Resolver algebricamente:
- Substituindo os valores
e :
- Em centímetros:
. - Verificação da coerência: esse
satisfaz (pois ), portanto é uma solução física válida na região considerada.
Passo 6
Verificação rápida da região à direita de ambas as cargas (
) para ver se surge outra solução.
- Em
os campos têm sentidos opostos (um para a direita, outro para a esquerda). Igualando os módulos:
- Seguindo os mesmos passos que no caso anterior chega-se à mesma equação que leva a
que dá
. Mas esse valor não pertence à região
(pois é negativo), logo não é solução nessa região. Portanto não há solução para
.
Passo 7
Conclusão e interpretação física rápida (empurrão final de ânimo).
- Há uma única posição ao longo do eixo
em que o campo elétrico resultante é zero: ela está à esquerda da carga positiva , numa distância de à esquerda de (isto é, em ). Intuitivamente: como tem módulo maior ( vezes) e é negativa, seu campo “puxa” mais; para equilibrar é preciso ficar mais longe de (aqui o equilíbrio aparece fora do intervalo entre as cargas, à esquerda).