18- Duas partículas estão fixas em um eixo x: partícula 1 de carga q_{1}=+2,1 \times 10^{-8} \mathrm{C} em x =20 c m e partícula 2 de carga q_{2}=-4,00 q_{1} em x=60 c m. Determine a coordenada do eixo na qual o campo elétrico resultante produzido pelas particulas é igual a zero.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Cargas e posições (peguei esses números do enunciado):
    • q_{1}=+2{,}1\times10^{-8}\\ \text{C} em x_{1}=20\\ \text{cm}.
    • q_{2}=-4{,}00\,q_{1} em x_{2}=60\\ \text{cm}.
  • O enunciado pede: determinar a coordenada x ao longo do eixo x onde o campo elétrico resultante produzido pelas duas partículas é igual a zero, ou seja, encontrar x tal que E_{\text{total}}(x)=0.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Campo elétrico criado por uma carga pontual: para um ponto a uma distância r da carga, o módulo do campo é
E=\;k\,\dfrac{|q|}{r^{2}},
onde k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\approx8{,}99\times10^{9}\\ \text{N·m}^{2}\!/\text{C}^{2}.
  • Direção do campo:
    • Se a carga é positiva, o campo aponta para fora (afasta-se da carga).
    • Se a carga é negativa, o campo aponta para a carga (direção oposta ao vetor posição).
  • No eixo x podemos tratar o campo como quantidade com sinal: escolhemos o sentido positivo para a direita. Então o campo produzido por uma carga em um ponto terá sinal positivo se aponta para a direita e negativo se aponta para a esquerda.
  • Para achar um ponto onde o campo total é zero, somamos os campos vetoriais (com sinal) das duas cargas e forçamos essa soma igual a zero. O fator k vai aparecer em ambos os termos e normalmente se cancela.

Passo 3

Primeiros números e simplificações (conversões de unidades e valor de q_2).
  • Converter posições para metros (trabalhar em SI facilita): x_{1}=20\\ \text{cm}=0{,}20\\ \text{m},\qquad x_{2}=60\\ \text{cm}=0{,}60\\ \text{m}.
  • Calcular q_{2} usando q_{2}=-4{,}00\,q_{1}: q_{2}=-4{,}00\cdot\bigl(2{,}1\times10^{-8}\bigr)\\ \text{C}=-8{,}4\times10^{-8}\\ \text{C}.

Passo 4

Analisar onde pode existir ponto com E_{\text{total}}=0 (razão física, sem contas ainda).
  • Existem três regiões ao longo do eixo x:
    1. Região à esquerda de ambas as cargas: x<x_{1}.
    2. Região entre as cargas: x_{1}<x<x_{2}.
    3. Região à direita de ambas: x>x_{2}.
  • Determinar direções dos campos em cada região:
    • Para q_{1}>0: o campo devido a q_{1} aponta para fora de x_{1} (para a esquerda se x<x_{1}, para a direita se x>x_{1}).
    • Para q_{2}<0: o campo devido a q_{2} aponta em direção a x_{2} (para a direita se x<x_{2}, para a esquerda se x>x_{2}).
  • Consequências:
    • Na região entre as cargas ( x_{1}<x<x_{2}) ambos os campos apontam na mesma direção (para a direita): portanto não é possível cancelarem-se — descartamos essa região.
    • Nas regiões exteriores (à esquerda de ambas e à direita de ambas) os campos têm direções opostas, então a anulação é possível. Logo temos que procurar solução em x<x_{1} e em x>x_{2}.

Passo 5

Equação do equilíbrio do campo na região à esquerda de ambas as cargas ( x<x_{1}). Montar a equação com explicação.
  • Em x<x_{1} (distâncias positivas): campo devido a q_{1} aponta para a esquerda (sinal negativo) e campo devido a q_{2} aponta para a direita (sinal positivo). Para que E_{\text{total}}=0 os módulos devem ser iguais:
k\,\dfrac{|q_{2}|}{(x_{2}-x)^{2}} \;=\; k\,\dfrac{q_{1}}{(x_{1}-x)^{2}}.
  • Cancelando k e sabendo que |q_{2}|=4\,q_{1} (pois q_{2}=-4q_{1}), obtemos
\dfrac{4\,q_{1}}{(x_{2}-x)^{2}}=\dfrac{q_{1}}{(x_{1}-x)^{2}}.
  • Cancelando q_{1} (não nulo) e simplificando:
\dfrac{4}{(x_{2}-x)^{2}}=\dfrac{1}{(x_{1}-x)^{2}}.
  • Tomando raiz quadrada (distâncias são positivas na região considerada), fica
\dfrac{2}{x_{2}-x}=\dfrac{1}{x_{1}-x}.
  • Resolver algebricamente:
2(x_{1}-x)=x_{2}-x
2x_{1}-2x=x_{2}-x
-2x+x = x_{2}-2x_{1}
-x=x_{2}-2x_{1}
x=2x_{1}-x_{2}.
  • Substituindo os valores \,x_{1}=0{,}20\\ \text{m} e \,x_{2}=0{,}60\\ \text{m}:
x=2\cdot0{,}20-0{,}60=0{,}40-0{,}60=-0{,}20\\ \text{m}.
  • Em centímetros: x=-20\\ \text{cm}.
  • Verificação da coerência: esse x satisfaz x<x_{1} (pois -0{,}20<0{,}20), portanto é uma solução física válida na região considerada.

Passo 6

Verificação rápida da região à direita de ambas as cargas ( x>x_{2}) para ver se surge outra solução.
  • Em x>x_{2} os campos têm sentidos opostos (um para a direita, outro para a esquerda). Igualando os módulos:
k\,\dfrac{q_{1}}{(x-x_{1})^{2}}=k\,\dfrac{|q_{2}|}{(x-x_{2})^{2}}.
  • Seguindo os mesmos passos que no caso anterior chega-se à mesma equação que leva a
x=2x_{1}-x_{2},
que dá x=-0{,}20\\ \text{m}. Mas esse valor não pertence à região x>x_{2} (pois é negativo), logo não é solução nessa região. Portanto não há solução para x>x_{2}.

Passo 7

Conclusão e interpretação física rápida (empurrão final de ânimo).
  • Há uma única posição ao longo do eixo x em que o campo elétrico resultante é zero: ela está à esquerda da carga positiva q_{1}, numa distância de 20\\ \text{cm} à esquerda de x=0 (isto é, em x=-20\\ \text{cm}). Intuitivamente: como q_{2} tem módulo maior ( 4 vezes) e é negativa, seu campo “puxa” mais; para equilibrar é preciso ficar mais longe de q_{2} (aqui o equilíbrio aparece fora do intervalo entre as cargas, à esquerda).

Resposta

-0{,}20\\ \text{m} = -20\\ \text{cm}

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