Encontre o escoamento do campo de velocidade F(x, y)=(x+y) i-(x^2+y^2) j ao longo do segmento de reta de (1,0) até (-1,0).

Passo 1

O enunciado nos pede calcular o escoamento (trabalho) do campo de velocidade F(x,y)=(x+y)i - (x^2+y^2)j ao longo do segmento de reta de (1,0) até (-1,0). O conteúdo aplicável é a integral de linha de um campo vetorial, usando parametrização da curva.

Passo 2

Parametrizamos o segmento de reta unindo (1,0) a (-1,0). Uma escolha simples é
r(t) = l(1-2t,,0r), 0<= t<= 1,
assim x=1-2t, y=0. Então dr = r'(t),dt =(-2,0),dt.

Passo 3

Substituímos na definição de escoamento:
integralC Fcdot dr = integral0^1 F(r(t))cdot r'(t),dt
Aqui
F(r(t)) = l((1-2t)+0,,-l((1-2t)^2+0r)r) = l(1-2t,,-(1-2t)^2r),
e r'(t)=(-2,0).

Passo 4

O produto escalar fica
F(r(t))cdot r'(t) = (1-2t)cdot(-2) + l(-(1-2t)^2r)cdot0 = -2(1-2t)
Então a integral é
integral0^1 -2(1-2t),dt = -2integral0^1(1-2t),dt
Calculando
integral0^1(1-2t),dt = l[t - t^2r]0^1 = (1-1)-0 = 0,
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integral0^1-2(1-2t),dt = -2cdot0 = 0

Passo 5

Concluímos que o escoamento do campo ao longo do segmento é zero.

Resposta

O escoamento vale 0.

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