Encontre os estimadores utilizando o Método dos Momentos e o Método de Máxima Verossimilhança da distribuição da amostra aleatória de uma populaçio :
b) Se tem distribuição Normal: , .
Passo 1
O enunciado pede para estimar os parâmetros μ e σ de uma distribuição Normal usando o Método dos Momentos e o Método de Máxima Verossimilhança. Vamos usar os momentos populacionais E[X] e E[X^2] e a log-verossimilhança da Normal.
Passo 2
Pelo Método dos Momentos, igualamos o primeiro momento teórico E[X]=μ ao momento amostral e o segundo momento teórico E[X2]=μ2+σ^2 ao momento amostral . Daí
barX=μ, X^2=μ^2+σ^2
Passo 3
Resolvendo para μ e σ:
hat μMOM=barX, hat σ^2MOM=X^2-barX^2, hat σMOM=raizX^2-barX^2
Passo 4
Pela Máxima Verossimilhança, escrevemos a log-verossimilhança
ell(μ,σ)=-n2ln(2πσ^2)-12σ^2sumi=1^n(Xi-μ)^2
Passo 5
Derivando em relação a μ e igualando a zero dá
∂ell∂μ=1σ^2sumi=1^n(Xi-μ)=0implies hat μMLE=barX
Passo 6
Derivando em relação a σ e igualando a zero dá
∂ell∂σ=-nσ+1σ^3sumi=1^n(Xi-μ)^2=0implies hat σ^2MLE=1nsumi=1^n(Xi-barX)^2, hat σMLE=raiz1nsumi=1^n(Xi-barX)^2
Resposta
Método dos Momentos: hat μMOM=barX,; hat σMOM=raizX^2-barX^2 Máxima Verossimilhança: hat μMLE=barX,; hat σMLE=raiztfrac1nsumi=1^n(Xi-barX)^2