Encontre os estimadores utilizando o Método dos Momentos e o Método de Máxima Verossimilhança da distribuição da amostra aleatória (X1, ldots, Xn) de uma populaçio X sim f(x mid Theta) :
b) Se X tem distribuição Normal: f(x mid mu, sigma)=1raiz2 pi sigma exp [-12 sigma^2(x-mu)^2],
-infty0.

Passo 1

O enunciado pede para estimar os parâmetros μ e σ de uma distribuição Normal usando o Método dos Momentos e o Método de Máxima Verossimilhança. Vamos usar os momentos populacionais E[X] e E[X^2] e a log-verossimilhança da Normal.

Passo 2

Pelo Método dos Momentos, igualamos o primeiro momento teórico E[X]=μ ao momento amostral barX=tfrac1nsumi=1^n Xi e o segundo momento teórico E[X2]=μ2+σ^2 ao momento amostral X^2=tfrac1nsumi=1^n Xi^2. Daí
barX=μ, X^2=μ^2+σ^2

Passo 3

Resolvendo para μ e σ:
hat μMOM=barX, hat σ^2MOM=X^2-barX^2, hat σMOM=raizX^2-barX^2

Passo 4

Pela Máxima Verossimilhança, escrevemos a log-verossimilhança
ell(μ,σ)=-n2ln(2πσ^2)-12σ^2sumi=1^n(Xi-μ)^2

Passo 5

Derivando em relação a μ e igualando a zero dá
∂ell∂μ=1σ^2sumi=1^n(Xi-μ)=0implies hat μMLE=barX

Passo 6

Derivando em relação a σ e igualando a zero dá
∂ell∂σ=-nσ+1σ^3sumi=1^n(Xi-μ)^2=0implies hat σ^2MLE=1nsumi=1^n(Xi-barX)^2, hat σMLE=raiz1nsumi=1^n(Xi-barX)^2

Resposta

Método dos Momentos: hat μMOM=barX,; hat σMOM=raizX^2-barX^2 Máxima Verossimilhança: hat μMLE=barX,; hat σMLE=raiztfrac1nsumi=1^n(Xi-barX)^2

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