Seja f: R longrightarrow R uma função contínua e seja F: R longrightarrow R a função definida por
F(x)=integral0^x x f(t) d t
Calcule F^prime(x), para todo o x in R.

Passo 1

O enunciado pede para achar a derivada de
F(x)=integral0^xx,f(t),dt
Trata-se de aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra do Produto, já que a variável x aparece tanto como limite de integração quanto multiplicando a integral.

Passo 2

Observamos que, dentro da integral, x é tratado como constante em relação a t. Logo podemos “fatorar” x para fora da integral. Definindo
A(x)=integral0^xf(t),dt,
temos
F(x)=x,A(x)

Passo 3

Para derivar F(x)=x,A(x), usamos a Regra do Produto:
F'(x)=1cdot A(x)+xcdot A'(x)
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos A'(x)=f(x). Portanto,
F'(x)=A(x)+x,f(x)=integral0^xf(t),dt+x,f(x)

Resposta

F’(x)=\int_{0}^{x}f(t),dt+x,f(x).

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