Determine o domínio, intervalos de monotonia e extremos locais das funções:
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos a função
. Vamos determinar o domínio de
, seus intervalos de monotonia e os extremos locais. Para isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia para derivadas.
Passo 2
Para achar o domínio, observamos que
é definido para todo
e a função integrando
é contínua em
. Então, o domínio de
é
.
Passo 3
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia, derivamos
em relação a
.
Passo 4
Para estudar a monotonia, analisamos o sinal de
. Como
para todo
, o sinal de
depende apenas de
. Logo,
se
e
se
. Assim,
é decrescente em
e crescente em
.
Passo 5
O único ponto crítico acontece em
, onde
. Como a função passa de decrescente para crescente em
, esse ponto é um mínimo local. O valor mínimo é
.
Resposta
Domínio:
.
Monotonia: decrescente em e crescente em
.
Extremo local: mínimo em com
.
Monotonia: decrescente em
Extremo local: mínimo em