Determine o domínio, intervalos de monotonia e extremos locais das funções: G(x)=integral0^x^2 e^-t^2 d t

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a função G(x) = integral0^x^2 e^-t^2,dt. Vamos determinar o domínio de G, seus intervalos de monotonia e os extremos locais. Para isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia para derivadas.

Passo 2

Para achar o domínio, observamos que x^2 é definido para todo x in R e a função integrando e^-t^2 é contínua em R. Então, o domínio de G é R.

Passo 3

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia, derivamos G(x) em relação a x.
G'(x) = e^-(x^2)^2 cdot ddx(x^2) = 2x , e^-x^4

Passo 4

Para estudar a monotonia, analisamos o sinal de G'(x) = 2x,e^-x^4. Como e^-x^4>0 para todo x, o sinal de G'(x) depende apenas de 2x. Logo, G'(x)<0 se x<0 e G'(x)>0 se x>0. Assim, G é decrescente em (0,nabla∞) e crescente em .

Passo 5

O único ponto crítico acontece em x=0, onde G'(0)=0. Como a função passa de decrescente para crescente em x=0, esse ponto é um mínimo local. O valor mínimo é G(0)=integral0^0 e^-t^2dt = 0.

Resposta

Domínio: R.
Monotonia: decrescente em ( -∞, 0 ) e crescente em ( 0, ∞ ).
Extremo local: mínimo em x=0 com G(0)=0.

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