Seja X1, ldots, Xn uma amostra de uma populaçāo: X sim f(x mid theta)=theta e^-theta x, x>0, theta>0.
a) Encontre o estimador de Máxima Verossimilhança de theta.

Passo 1

O problema dá uma amostra independente e identicamente distribuída X1,dots,Xn de uma distribuição exponencial com parâmetro theta, e pede o estimador de máxima verossimilhança (MLE) de theta. Vamos usar o método de máxima verossimilhança, que consiste em montar a função verossimilhança, transformar em log-verossimilhança, derivar em relação a theta, igualar a zero e resolver.

Passo 2

A função verossimilhança L(theta) é o produto das densidades de cada observado. Como Xisim f(x|theta)=theta e^-theta x, temos
L(theta)=prodi=1^n theta e^-theta xi=theta^n e^-theta sumi=1^n xi

Passo 3

Para facilitar a maximização, passamos para a log-verossimilhança ell(theta)=ln L(theta). Assim,
ell(theta)=nlntheta-thetasumi=1^n xi

Passo 4

Agora derivamos ell(theta) em relação a theta e igualamos a zero para encontrar o ponto crítico:
delldtheta=ntheta-sumi=1^n xi=0
Isso leva a
hatthetaMLE=nsumi=1^n xi

Passo 5

Para confirmar que encontramos um máximo, verificamos o segundo derivado:
d^2elldtheta^2=-ntheta^2<0
para todo theta>0, o que garante que ell(theta) é côncava e o ponto crítico é um máximo.

Resposta

hatthetaMLE=nsumi=1^n Xi.

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