Seja
uma amostra de uma populaçāo:
.
a) Encontre o estimador de Máxima Verossimilhança de
.
a) Encontre o estimador de Máxima Verossimilhança de
Passo 1
O problema dá uma amostra independente e identicamente distribuída
de uma distribuição exponencial com parâmetro
, e pede o estimador de máxima verossimilhança (MLE) de
. Vamos usar o método de máxima verossimilhança, que consiste em montar a função verossimilhança, transformar em log-verossimilhança, derivar em relação a
, igualar a zero e resolver.
Passo 2
A função verossimilhança
é o produto das densidades de cada observado. Como
, temos
Passo 3
Para facilitar a maximização, passamos para a log-verossimilhança
. Assim,
Passo 4
Agora derivamos
em relação a
e igualamos a zero para encontrar o ponto crítico:
Isso leva a
Passo 5
Para confirmar que encontramos um máximo, verificamos o segundo derivado:
para todo
, o que garante que
é côncava e o ponto crítico é um máximo.