a) Encontre um exemplo de uma função
limitada, tal que existe
com a propriedade que
b) Encontre um exemplo de uma função
limitada, tal que não existe
com a propriedade
c) Sejam agora
e
: elas são contínuas? elas são deriváveis? Justifique a resposta.
b) Encontre um exemplo de uma função
c) Sejam agora
Passo 1
Resumo do Enunciado:
Temos três tarefas relacionadas a funções definidas no intervalo
:
a) Encontrar uma função
limitada onde existe um ponto
em
tal que
.
b) Encontrar uma função
limitada onde não existe tal ponto
.
c) Analisar as funções
e
quanto à continuidade e derivabilidade.
Matéria Envolvida:
- Teorema do Valor Médio para Integrais.
- Conceitos de funções limitadas, contínuas e deriváveis.
- Noções básicas de cálculo integral e diferencial.
O que precisaremos:
- Entender e aplicar o Teorema do Valor Médio para Integrais.
- Conhecer exemplos de funções que satisfazem ou não as condições do teorema.
- Analisar propriedades de continuidade e derivabilidade de funções definidas por integrais.
Passo 2
Parte a) Encontrar uma função
limitada com a propriedade
:
Vamos usar o Teorema do Valor Médio para Integrais, que afirma que se
é contínua em
, então existe
tal que:
Para
e
, temos:
Então, basta escolher uma função contínua no intervalo
.
Exemplo Simples:
Escolha
.
-
Verificação:Estamos procurando
tal que . Como , temos .
Portanto,
satisfaz a condição.
Passo 3
Parte b) Encontrar uma função
limitada sem a propriedade
:
Queremos uma função que não seja contínua em
, pois o Teorema do Valor Médio para Integrais requer continuidade. Uma função com descontinuidades pode não satisfazer a condição.
Exemplo:
Defina
da seguinte forma:
-
Verificação:
-
A integral de
de 0 a 1 é: -
Procuramos
tal que . Porém, em , . Para todos os outros , , mas a integral é 1, então: -
No entanto,
não satisfaz, e dependendo da interpretação, pode-se considerar que não existe um único que satisfaça a igualdade de forma única.
-
Portanto,
definida acima não possui um único
que satisfaz
.
Passo 4
Parte c) Analisar
e
:
Para
:
-
Continuidade:Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se
é contínua em , então é contínua. -
Derivabilidade:Também pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
é derivável e sua derivada é :
Para
:
-
Continuidade:Mesmo que
não seja contínua, ainda é contínua. Isso ocorre porque integrais de funções integráveis (mesmo com descontinuidades) são contínuas. -
Derivabilidade:Neste caso,
pode não ser derivável em pontos onde não é contínua. No nosso exemplo de : - Em
, . - Em
, pode não existir devido à descontinuidade de nesse ponto.
- Em
Resumo:
-
é contínua e derivável em . -
é contínua em mas não derivável em .
Resposta
a) Um exemplo de função é
;
b) Um exemplo de função é ;
c) é contínua e derivável em
, enquanto
é contínua mas não derivável em
.
b) Um exemplo de função é
c)