a) Encontre um exemplo de uma função f:[0,1] R limitada, tal que existe c in(a, b) com a propriedade que integral0^1 f(x) d x=f(c)
b) Encontre um exemplo de uma função g:[0,1] R limitada, tal que não existe c in(a, b) com a propriedade integral0^1 g(x) d x=g(c)
c) Sejam agora F(x)=integral0^x f(t) d t e G(x)=integral0^x g(t) d t : elas são contínuas? elas são deriváveis? Justifique a resposta.

Passo 1

Resumo do Enunciado:
Temos três tarefas relacionadas a funções definidas no intervalo :
a) Encontrar uma função limitada onde existe um ponto em tal que .
b) Encontrar uma função limitada onde não existe tal ponto .
c) Analisar as funções e quanto à continuidade e derivabilidade.
Matéria Envolvida:
  • Teorema do Valor Médio para Integrais.
  • Conceitos de funções limitadas, contínuas e deriváveis.
  • Noções básicas de cálculo integral e diferencial.
O que precisaremos:
  • Entender e aplicar o Teorema do Valor Médio para Integrais.
  • Conhecer exemplos de funções que satisfazem ou não as condições do teorema.
  • Analisar propriedades de continuidade e derivabilidade de funções definidas por integrais.

Passo 2

Parte a) Encontrar uma função integrala^b f(x) dx = f(c) (b - a) limitada com a propriedade integral0^1 f(x) dx = f(c) times 1 = f(c) :
Vamos usar o Teorema do Valor Médio para Integrais, que afirma que se integral0^1 x dx = [x^22]0^1 = 12 é contínua em , então existe tal que:
Para e , temos:
Então, basta escolher uma função contínua no intervalo .
Exemplo Simples:
Escolha .
  • Verificação:
    Estamos procurando tal que . Como , temos .
Portanto, satisfaz a condição.

Passo 3

Parte b) Encontrar uma função g(x) = 1 & se x neq 12 0 & se x = 12 limitada sem a propriedade integral0^1 g(x) dx = integral0^1 1 dx = 1 :
Queremos uma função que não seja contínua em integral0^1 g(x) dx = 1 = g(c) para todo c neq 12 , pois o Teorema do Valor Médio para Integrais requer continuidade. Uma função com descontinuidades pode não satisfazer a condição.
Exemplo:
Defina da seguinte forma:
  • Verificação:
    • A integral de de 0 a 1 é:
    • Procuramos tal que . Porém, em , . Para todos os outros , , mas a integral é 1, então:
    • No entanto, não satisfaz, e dependendo da interpretação, pode-se considerar que não existe um único que satisfaça a igualdade de forma única.
Portanto, definida acima não possui um único que satisfaz .

Passo 4

Parte c) Analisar F'(x) = f(x) e :
Para :
  • Continuidade:
    Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se é contínua em , então é contínua.
  • Derivabilidade:
    Também pelo Teorema Fundamental do Cálculo, é derivável e sua derivada é :
Para :
  • Continuidade:
    Mesmo que não seja contínua, ainda é contínua. Isso ocorre porque integrais de funções integráveis (mesmo com descontinuidades) são contínuas.
  • Derivabilidade:
    Neste caso, pode não ser derivável em pontos onde não é contínua. No nosso exemplo de :
    • Em , .
    • Em , pode não existir devido à descontinuidade de nesse ponto.
Resumo:
  • é contínua e derivável em .
  • é contínua em mas não derivável em .

Resposta

a) Um exemplo de função é 1 & se x neq 12 0 & se x = 12;
b) Um exemplo de função é ;
c) é contínua e derivável em , enquanto é contínua mas não derivável em .

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