Esboce o gráfico da função F(x)=integral2^x f(t) d t quando f é uma das funções a seguir ( [[x]] é parte inteira de x )
a) f(x)=[[x]],
b) f(x)= x & x <= 5 0 & x in(5,6] -3 & x>6
c) f(x)=x-[[x]].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa esboçar o gráfico da função , onde representa a parte inteira de . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integrais definidas e funções por partes. Vamos precisar entender como a função parte inteira se comporta e como integrá-la para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função parte inteira . Essa função pega um número real e retorna a maior parte inteira que não excede . Por exemplo, e . Essa função é constante em cada intervalo entre dois números inteiros.

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de no intervalo de integração, que começa em 2 e vai até . Dependendo do valor de , o comportamento de muda nos intervalos inteiros. Vamos dividir o integral em partes onde é constante.

Passo 4

Vamos considerar diferentes casos para :
  1. Se :
    • Aqui, para todo nesse intervalo.
    • Então, .
  2. Se :
    • Neste caso, dividimos o integral em dois:
      • De 2 a 3, .
      • De 3 a , .
    • Então, .
  3. De forma geral, para , onde é inteiro maior ou igual a 2:
    • Podemos somar os integrais de cada intervalo inteiro até , e depois de até .
    • Isso resulta em , onde cada termo representa a área de um retângulo de altura e largura 1.

Passo 5

Vamos resumir isso em uma função por partes para F(x) = 2(x - 2) & se 2 <= x < 3, 2 + 3(x - 3) & se 3 <= x < 4, 2 + 3 + 4(x - 4) & se 4 <= x < 5, vdots & vdots :
Cada intervalo adiciona uma nova parte linear com inclinação aumentada em 1 a cada próximo inteiro.

Passo 6

Com essa função por partes, fica mais fácil esboçar o gráfico de . Em cada intervalo inteiro, a função cresce linearmente com uma inclinação que aumenta em 1 a cada novo intervalo. Isso cria uma série de segmentos lineares que formam o gráfico de .

Resposta

O gráfico da função F(x) = 2(x - 2) & se 2 <= x < 3, 2 + 3(x - 3) & se 3 <= x < 4, 2 + 3 + 4(x - 4) & se 4 <= x < 5, vdots & vdots é composto por segmentos lineares definidos por:
Cada segmento tem uma inclinação que aumenta em 1 a cada novo intervalo inteiro, resultando em um gráfico em degraus ascendentes.

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