Esboce o gráfico da função quando é uma das funções a seguir ( é parte inteira de )
a) ,
b)
c) f(x)=x-[[x]].
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa esboçar o gráfico da função , onde representa a parte inteira de . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integrais definidas e funções por partes. Vamos precisar entender como a função parte inteira se comporta e como integrá-la para encontrar .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a função parte inteira . Essa função pega um número real e retorna a maior parte inteira que não excede . Por exemplo, e . Essa função é constante em cada intervalo entre dois números inteiros.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de no intervalo de integração, que começa em 2 e vai até . Dependendo do valor de , o comportamento de muda nos intervalos inteiros. Vamos dividir o integral em partes onde é constante.
Passo 4
Vamos considerar diferentes casos para :
Se :
Aqui, para todo nesse intervalo.
Então, .
Se :
Neste caso, dividimos o integral em dois:
De 2 a 3, .
De 3 a , .
Então, .
De forma geral, para , onde é inteiro maior ou igual a 2:
Podemos somar os integrais de cada intervalo inteiro até , e depois de até .
Isso resulta em , onde cada termo representa a área de um retângulo de altura e largura 1.
Passo 5
Vamos resumir isso em uma função por partes para F(x) = 2(x - 2) & se 2 <= x < 3, 2 + 3(x - 3) & se 3 <= x < 4, 2 + 3 + 4(x - 4) & se 4 <= x < 5, vdots & vdots :
Cada intervalo adiciona uma nova parte linear com inclinação aumentada em 1 a cada próximo inteiro.
Passo 6
Com essa função por partes, fica mais fácil esboçar o gráfico de . Em cada intervalo inteiro, a função cresce linearmente com uma inclinação que aumenta em 1 a cada novo intervalo. Isso cria uma série de segmentos lineares que formam o gráfico de .
Resposta
O gráfico da função F(x) = 2(x - 2) & se 2 <= x < 3, 2 + 3(x - 3) & se 3 <= x < 4, 2 + 3 + 4(x - 4) & se 4 <= x < 5, vdots & vdots é composto por segmentos lineares definidos por:
Cada segmento tem uma inclinação que aumenta em 1 a cada novo intervalo inteiro, resultando em um gráfico em degraus ascendentes.