Nas integrais abaixo, verifique se pode ser aplicado o teorema da média integral (na sua versão para funções contínuas) e no caso encontre um ponto que satisfaça a tese do teorema ([[u]] indica a parte inteira de
).
(a)
,
(b)
,
©
,
(d)
.
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado. Temos quatro integrais e precisamos verificar se podemos aplicar o Teorema da Média Integral para funções contínuas em cada caso. Se sim, vamos encontrar um ponto que satisfaça a condição do teorema. Para isso, precisamos entender que o Teorema da Média Integral nos diz que, para uma função contínua
no intervalo
, existe pelo menos um ponto
em
tal que:
Vamos analisar cada uma das integrais fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a integral:
Verificação da continuidade: A função
é um polinômio, portanto, é contínua em todo o domínio real, incluindo o intervalo
. Assim, o Teorema da Média Integral pode ser aplicado.
Aplicando o Teorema da Média Integral:
Calculando a integral:
Então:
Passo 3
Agora, vamos para a integral:
Verificação da continuidade: A função
é contínua em todo o domínio real, incluindo o intervalo
. Portanto, podemos aplicar o Teorema da Média Integral.
Aplicando o Teorema da Média Integral:
Calculando a integral:
Então:
Passo 4
Vamos analisar a integral:
Verificação da continuidade: A função
tem pontos de descontinuidade quando o denominador é zero, ou seja, quando
. No intervalo
,
faz com que a função seja descontínua. Portanto, o Teorema da Média Integral não pode ser aplicado nesse caso.
Passo 5
Finalmente, vamos para a integral:
Aqui,
representa a parte inteira de
. A função parte inteira não é contínua em pontos inteiros, por exemplo, em
. No intervalo
, a função
tem descontinuidades nesses pontos. Assim, o Teorema da Média Integral não pode ser aplicado nesse caso.
Resposta
(a) O Teorema da Média Integral se aplica e o ponto
satisfaz a condição do teorema.
(b) O Teorema da Média Integral se aplica e o ponto
satisfaz a condição do teorema.
© O Teorema da Média Integral não pode ser aplicado porque a função não é contínua no intervalo dado.
(d) O Teorema da Média Integral não pode ser aplicado porque a função parte inteira não é contínua no intervalo dado.