Nas integrais abaixo, verifique se pode ser aplicado o teorema da média integral (na sua versão para funções contínuas) e no caso encontre um ponto que satisfaça a tese do teorema ([[u]] indica a parte inteira de u ).
(a) integral3^6(4 x-1) d x,
(b) integral-2^3 x^2 d x,
© integral0^2 2 x^21-x^2 d x,
(d) integral-2^2.5[[u]] d u.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado. Temos quatro integrais e precisamos verificar se podemos aplicar o Teorema da Média Integral para funções contínuas em cada caso. Se sim, vamos encontrar um ponto que satisfaça a condição do teorema. Para isso, precisamos entender que o Teorema da Média Integral nos diz que, para uma função contínua integrala^b f(x) , dx = f(c) cdot (b - a) no intervalo , existe pelo menos um ponto em tal que:
Vamos analisar cada uma das integrais fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a integral:
integral3^6 (4x - 1) , dx
Verificação da continuidade: A função integral3^6 (4x - 1) , dx = f(c) cdot (6 - 3) = (4c - 1) cdot 3 é um polinômio, portanto, é contínua em todo o domínio real, incluindo o intervalo integral3^6 (4x - 1) , dx = [2x^2 - x]3^6 = (2 cdot 6^2 - 6) - (2 cdot 3^2 - 3) = (72 - 6) - (18 - 3) = 66 - 15 = 51 . Assim, o Teorema da Média Integral pode ser aplicado.
Aplicando o Teorema da Média Integral:
51 = (4c - 1) cdot 3 implies 4c - 1 = 17 implies 4c = 18 implies c = 4.5
Calculando a integral:
Então:

Passo 3

Agora, vamos para a integral:
integral-2^3 x^2 , dx
Verificação da continuidade: A função integral-2^3 x^2 , dx = f(c) cdot (3 - (-2)) = c^2 cdot 5 é contínua em todo o domínio real, incluindo o intervalo integral-2^3 x^2 , dx = [x^33]-2^3 = (273) - (-83) = 9 + 83 = 353 . Portanto, podemos aplicar o Teorema da Média Integral.
Aplicando o Teorema da Média Integral:
353 = c^2 cdot 5 implies c^2 = 3515 = 73 implies c = raiz73 approx 1.53
Calculando a integral:
Então:

Passo 4

Vamos analisar a integral:
integral0^2 2x^21 - x^2 , dx
Verificação da continuidade: A função tem pontos de descontinuidade quando o denominador é zero, ou seja, quando . No intervalo , faz com que a função seja descontínua. Portanto, o Teorema da Média Integral não pode ser aplicado nesse caso.

Passo 5

Finalmente, vamos para a integral:
integral-2^2.5 [[u]] , du
Aqui, representa a parte inteira de . A função parte inteira não é contínua em pontos inteiros, por exemplo, em . No intervalo , a função tem descontinuidades nesses pontos. Assim, o Teorema da Média Integral não pode ser aplicado nesse caso.

Resposta

(a) O Teorema da Média Integral se aplica e o ponto satisfaz a condição do teorema.
(b) O Teorema da Média Integral se aplica e o ponto satisfaz a condição do teorema.
© O Teorema da Média Integral não pode ser aplicado porque a função não é contínua no intervalo dado.
(d) O Teorema da Média Integral não pode ser aplicado porque a função parte inteira não é contínua no intervalo dado.

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