Use a regra da cadeia para achar
.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a regra da cadeia, que é uma técnica de cálculo para encontrar derivadas quando temos funções compostas. No caso, a gente quer achar as derivadas de
e
em relação a
. As funções que temos são:
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a regra da cadeia. Ela nos ajuda a derivar funções que são compostas, ou seja, funções dentro de outras funções. No nosso caso,
depende de
e
, que por sua vez dependem de
. Então, para encontrar
, precisamos considerar como
muda com
,
, e como
e
mudam com
.
Passo 3
Vamos começar encontrando
. A função
é dada por:
Para derivar
em relação a
, usamos a regra da cadeia:
Passo 4
Vamos calcular cada parte dessa expressão:
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
Para isso, aplicamos a regra do produto:
- Derivada de
em relação a :
Passo 5
Agora, substituímos tudo de volta na expressão original para
:
Passo 6
Vamos substituir os valores de
e
em termos de
:
Substituindo na expressão:
Passo 7
Agora, vamos simplificar a expressão:
- Multiplicando os termos:
- Distribuindo o
:
- Somando os termos semelhantes:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: