Use a regra da cadeia para achar d z / d t e d w / d t. z = x * y * e^(y), x = t^2, y = 5 * t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a regra da cadeia, que é uma técnica de cálculo para encontrar derivadas quando temos funções compostas. No caso, a gente quer achar as derivadas de e em relação a . As funções que temos são:

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a regra da cadeia. Ela nos ajuda a derivar funções que são compostas, ou seja, funções dentro de outras funções. No nosso caso, depende de e , que por sua vez dependem de . Então, para encontrar , precisamos considerar como muda com , , e como e mudam com .

Passo 3

Vamos começar encontrando . A função é dada por:
Para derivar em relação a , usamos a regra da cadeia:

Passo 4

Vamos calcular cada parte dessa expressão:
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :
Para isso, aplicamos a regra do produto:
  1. Derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos tudo de volta na expressão original para :

Passo 6

Vamos substituir os valores de e em termos de :
Substituindo na expressão:

Passo 7

Agora, vamos simplificar a expressão:
  1. Multiplicando os termos:
  1. Distribuindo o :
  1. Somando os termos semelhantes:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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