Encontre um exemplo de homeomorfismo entre dois espaços métricos f: M N tal que f é uniformemente contínua, mas f^-1 é contínua, mas não é uniformemente contínua. (Dica: Considere f:] 1, infty[] 1, infty[ dado por f(t)=raizt)

Passo 1

O enunciado pede um homeomorfismo fcolon Mto N entre espaços métricos que seja uniformemente contínuo mas cuja inversa seja contínua e não uniformemente contínua. Vamos tomar
M = N = l]1,inftyr[com a distância usual d(x,y)=|x-y| â
e definir
f(t)=raizt
Precisamos mostrar que
  1. f é bijetiva e contínua com inversa contínua (logo é homeomorfismo),
  2. f é uniformemente contínua em l]1,inftyr[,
  3. f^-1(s)=s^2 é contínua mas não é uniformemente contínua em l]1,inftyr[.

Passo 2

Primeiro verificamos a bijetividade e a continuidade de f.
  • Injetividade: se raizt1=raizt2 então t1=t2.
  • Sobretividade: dado y>1, tome t=y^2>1; então raizt=y.
  • Inversa:
f^-1(s)=s^2, sinl]1,inftyr[
Ambas as funções tmapstoraiz t e smapsto s^2 são contínuas em l]1,inftyr[, logo f é homeomorfismo.

Passo 3

Mostramos que f é uniformemente contínua. Para quaisquer x,y>1 vale
l|raizx-raizyr| = l|x-yr|raizx+raizy <= |x-y|2raiz1 = |x-y|2
Dado varepsilon>0, basta escolher
de<a = 2varepsilon
para garantir que |x-y|<de<a implique
l|raizx-raizyr|<varepsilon. Assim f é Lipschitz (constante 1/2) e, em particular, uniformemente contínua.

Passo 4

Mostramos que f^-1(s)=s^2 não é uniformemente contínua em l]1,inftyr[. Suponha, por contradição, que seja: então existe de<a>0 tal que
|s1-s2|<de<a Longrightarrow l|s1^2 - s2^2r|<1
(pegamos varepsilon=1 sem perda de generalidade). Agora escolha
s1 = R, s2 = R + de<a2,
com R arbitrariamente grande. Então
|s1 - s2| = de<a2 < de<a,
porém
l|s1^2 - s2^2r| = (s2 - s1)(s2 + s1) = de<a2l(2R + tfracde<a2r) >= R,de<a
que pode ser feito maior que 1 escolhendo R>1/de<a. Isso contradiz a definição de continuidade uniforme de f^-1. Logo f^-1 não é uniformemente contínua.

Resposta

O exemplo é
fcolonl]1,inftyr[tol]1,inftyr[, f(t)=raiz t,
que é um homeomorfismo uniformemente contínuo, mas cuja inversa f^-1(s)=s^2 não é uniformemente contínua.

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