Encontre um exemplo de homeomorfismo entre dois espaços métricos tal que é uniformemente contínua, mas é contínua, mas não é uniformemente contínua. (Dica: Considere dado por
Passo 1
O enunciado pede um homeomorfismo entre espaços métricos que seja uniformemente contínuo mas cuja inversa seja contínua e não uniformemente contínua. Vamos tomar
e definir
Precisamos mostrar que
é bijetiva e contínua com inversa contínua (logo é homeomorfismo),
é uniformemente contínua em ,
é contínua mas não é uniformemente contínua em .
Passo 2
Primeiro verificamos a bijetividade e a continuidade de .
Injetividade: se então .
Sobretividade: dado , tome ; então .
Inversa:
Ambas as funções e são contínuas em , logo é homeomorfismo.
Passo 3
Mostramos que é uniformemente contínua. Para quaisquer vale
Dado varepsilon>0, basta escolher
de<a = 2varepsilon
para garantir que |x-y|<de<a implique l|raizx-raizyr|<varepsilon. Assim f é Lipschitz (constante 1/2) e, em particular, uniformemente contínua.
Passo 4
Mostramos que f^-1(s)=s^2 não é uniformemente contínua em l]1,inftyr[. Suponha, por contradição, que seja: então existe de<a>0 tal que
|s1-s2|<de<a Longrightarrow l|s1^2 - s2^2r|<1
(pegamos varepsilon=1 sem perda de generalidade). Agora escolha
que pode ser feito maior que 1 escolhendo R>1/de<a. Isso contradiz a definição de continuidade uniforme de f^-1. Logo f^-1 não é uniformemente contínua.
Resposta
O exemplo é
fcolonl]1,inftyr[tol]1,inftyr[, f(t)=raiz t,
que é um homeomorfismo uniformemente contínuo, mas cuja inversa f^-1(s)=s^2 não é uniformemente contínua.