Exercício 1.13.2. Para cada afirmação, assinale V, se for verdadeira, ou F, se for falsa. Justifique sua resposta em ambos casos.
a) ( ) A expressão lim x a f(x) descreve o comportamento da função f quando x=a.
b) ( ) A expressão lim x a f(x)=L significa que, dado um epsilon>0, existe de<a>0 tal que se 0<|x-a|<de<a então |f(x)-L|<epsilon.
c) ( ) lim x a f(x) só existe se a função estiver definida em x=a.
d) ( ) Para uma função f(x), se os limites laterais à direita e à esquerda de um ponto a forem iguais, então existe limite de f(x) com x tendendo a a.

Passo 1

O enunciado apresenta quatro afirmações sobre o limite de função limxto af(x): sua interpretação, a definição epsilon de<a, a exigência de f(a) para existência do limite e a relação entre limites laterais. O conteúdo é cálculo de limites de funções.

Passo 2

A afirmação (a) diz que “ limxto af(x) descreve o comportamento de f quando x=a”. Isso é falso, pois o limite examina apenas o valor que f(x) se aproxima quando x se aproxima de a, sem considerar necessariamente o valor de f(a). Por exemplo,
f(x)=sin xx
não está definida em x=0, mas
limxto0f(x)=1
Logo, a afirmação é Falsa.

Passo 3

A afirmação (b) afirma que “ limxto af(x)=L significa que, dado um epsilon>0, existe de<a>0 tal que se 0<|x-a|<de<a então |f(x)-L|<epsilon”. Isso coincide exatamente com a definição formal de limite de função:
limxto af(x)=L iff forall epsilon>0;exists de<a>0:;0<|x-a|<de<aimplies|f(x)-L|<epsilon
Portanto, a afirmação é Verdadeira.

Passo 4

A afirmação (c) diz que “ limxto af(x) só existe se a função estiver definida em x=a”. Isso é falso, pois a existência do limite não depende de f(a). Por exemplo,
f(x)=x^2-1x-1, xneq1
não está definida em x=1, mas
limxto1f(x)=2
Logo, a afirmação é Falsa.

Passo 5

A afirmação (d) diz que se os limites laterais à esquerda e à direita de um ponto a forem iguais, então existe o limite de f(x) quando xto a. Isso é verdadeiro, pois a condição necessária e suficiente para existir limxto af(x) é
limxto a^-f(x) = limxto a^+f(x)
Se ambos existem e coincidem em um valor L, então limxto af(x)=L. Logo, a afirmação é Verdadeira.

Resposta

(a) F
(b) V
(c) F
(d) V

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