Sejam
funções contínuas no ponto
. Se
, então existe uma bola aberta
de centro
tal que
. Em particular,
.
Passo 1
O enunciado diz que
são contínuas em
(onde
e
são espaços métricos) e que
. Precisamos mostrar que existe uma bola aberta
centrada em
tal que
ou seja, para todo
vale
. Vamos usar a definição de continuidade em termos de distâncias e a construção de bolas disjuntas em
.
Passo 2
Como
, a distância
é um número estritamente positivo. Defina
Passo 3
Pela continuidade de
em
, existe
tal que
De modo análogo, pela continuidade de
em
existe
com
Tome
Então, para todo
vale
Como as bolas
e
são disjuntas (pois a distância entre seus centros é
), obtemos
Passo 4
Em particular, se
então não pode ocorrer
, pois isso implicaria
.
Resposta
Uma escolha que funciona é
onde
vêm das condições de continuidade de
e
. Então
e, consequentemente,
.