Sejam f, g: M N funções contínuas no ponto a in M. Se f(a) neq g(a), então existe uma bola aberta B de centro a tal que f(B) cap g(B)=emptyset. Em particular, x in B Longrightarrow f(x) neq g(x).

Passo 1

O enunciado diz que f,g: Mto N são contínuas em ain M (onde M e N são espaços métricos) e que f(a)neq g(a). Precisamos mostrar que existe uma bola aberta B centrada em a tal que
f(B),cap,g(B)=emptyset,
ou seja, para todo xin B vale f(x)neq g(x). Vamos usar a definição de continuidade em termos de distâncias e a construção de bolas disjuntas em N.

Passo 2

Como f(a)neq g(a), a distância
r = dl(f(a),g(a)r)
é um número estritamente positivo. Defina
varepsilon = r2;>;0

Passo 3

Pela continuidade de f em a, existe de<a1>0 tal que
xin Bde<a1(a)Longrightarrow dl(f(x),f(a)r)<varepsilon
De modo análogo, pela continuidade de g em a existe de<a2>0 com
xin Bde<a2(a)Longrightarrow dl(g(x),g(a)r)<varepsilon
Tome
de<a = minde<a1,de<a2 e B = Bde<a(a)
Então, para todo xin B vale
f(x)in Bvarepsilonl(f(a)r) e g(x)in Bvarepsilonl(g(a)r)
Como as bolas Bvarepsilonl(f(a)r) e Bvarepsilonl(g(a)r) são disjuntas (pois a distância entre seus centros é r=2varepsilon), obtemos
f(B),cap,g(B)=emptyset

Passo 4

Em particular, se xin B então não pode ocorrer f(x)=g(x), pois isso implicaria f(x)in f(B)cap g(B).

Resposta

Uma escolha que funciona é
B = Bde<a(a), de<a = minde<a1,de<a2,
onde de<a1,de<a2 vêm das condições de continuidade de f e g. Então f(B)cap g(B)=emptyset e, consequentemente, xin Bimplies f(x)neq g(x).

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