Encontre, se existir, a inversa das matrizes abaixo por dois métodos: pela definição e por matriz de cofatores.
D=[rrr1 & -1 & 2 2 & 1 & -4 -1 & 0 & 1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que envolve encontrar a inversa da matriz D = [rrr1 & -1 & 2 2 & 1 & -4 -1 & 0 & 1] . A gente vai usar dois métodos diferentes para isso: pela definição (que geralmente envolve transformar a matriz em identidade usando operações) e pelo método dos cofatores. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar inversas de matrizes usando esses dois jeitos.

Passo 2

Primeiro, vamos pelo método pela definição, que geralmente é feito usando eliminação de Gauss-Jordan. A ideia é transformar a matriz D em uma matriz identidade enquanto aplicamos as mesmas operações a uma matriz identidade para obter a inversa.

Passo 3

Vamos montar uma matriz aumentada que junta D com a identidade:
[ccc|ccc 1 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0 2 & 1 & -4 & 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 ]
Nosso objetivo é transformar a parte da esquerda (a matriz D ) na identidade.

Passo 4

Primeira etapa: Vamos deixar o primeiro elemento da primeira linha como 1 (já está ok). Agora, vamos zerar os elementos abaixo dele na coluna 1.
  • Linha 2: Subtrair 2 vezes a Linha 1 da Linha 2.
  • Linha 3: Adicionar a Linha 1 à Linha 3.
Aplicando:
Nova Linha 2 = Linha 2 - 2 * Linha 1:
2 - 2*1 = 0 1 - 2*(-1) = 3 -4 - 2*2 = -8 0 - 2*1 = -2 1 - 2*0 = 1 0 - 2*0 = 0
Nova Linha 3 = Linha 3 + Linha 1:
-1 + 1 = 0 0 + (-1) = -1 1 + 2 = 3 0 + 1 = 1 0 + 0 = 0 1 + 0 = 1
Matriz atualizada:
[ccc|ccc 1 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0 0 & 3 & -8 & -2 & 1 & 0 0 & -1 & 3 & 1 & 0 & 1 ]

Passo 5

Segunda etapa: Vamos deixar o segundo elemento da segunda linha como 1, dividindo a Linha 2 por 3.
Nova Linha 2 = Linha 2 / 3:
0 / 3 = 0 3 / 3 = 1 -8 / 3 = -83 -2 / 3 = -23 1 / 3 = 13 0 / 3 = 0
Matriz atualizada:
[ccc|ccc 1 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & -83 & -23 & 13 & 0 0 & -1 & 3 & 1 & 0 & 1 ]

Passo 6

Vamos agora zerar os demais elementos na coluna 2.
  • Linha 1: Adicionar a Linha 2 à Linha 1.
  • Linha 3: Adicionar a Linha 2 à Linha 3.
Aplicando:
Nova Linha 1 = Linha 1 + Linha 2:
1 + 0 = 1 -1 + 1 = 0 2 + (-83) = -23 1 + (-23) = 13 0 + 13 = 13 0 + 0 = 0
Nova Linha 3 = Linha 3 + Linha 2:
0 + 0 = 0 -1 + 1 = 0 3 + (-83) = 13 1 + (-23) = 13 0 + 13 = 13 1 + 0 = 1
Matriz atualizada:
[ccc|ccc 1 & 0 & -23 & 13 & 13 & 0 0 & 1 & -83 & -23 & 13 & 0 0 & 0 & 13 & 13 & 13 & 1 ]

Passo 7

Terceira etapa: Vamos deixar o terceiro elemento da terceira linha como 1, multiplicando a Linha 3 por 3.
Nova Linha 3 = Linha 3 * 3:
0 * 3 = 0 0 * 3 = 0 13 * 3 = 1 13 * 3 = 1 13 * 3 = 1 1 * 3 = 3
Matriz atualizada:
[ccc|ccc 1 & 0 & -23 & 13 & 13 & 0 0 & 1 & -83 & -23 & 13 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 3 ]

Passo 8

Agora, vamos zerar os elementos acima do 1 na terceira coluna.
  • Linha 1: Adicionar 23 vezes a Linha 3 à Linha 1.
  • Linha 2: Adicionar 83 vezes a Linha 3 à Linha 2.
Aplicando:
Nova Linha 1 = Linha 1 + 23 * Linha 3:
1 + 0 = 1 0 + 0 = 0 -23 + 23 * 1 = 0 13 + 23 * 1 = 1 13 + 23 * 1 = 1 0 + 23 * 3 = 2
Nova Linha 2 = Linha 2 + 83 * Linha 3:
0 + 0 = 0 1 + 0 = 1 -83 + 83 * 1 = 0 -23 + 83 * 1 = 2 13 + 83 * 1 = 3 0 + 83 * 3 = 8
Matriz atualizada:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 0 & 1 & 0 & 2 & 3 & 8 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 3 ]
Agora, a parte da esquerda é a matriz identidade, então a parte da direita é a inversa de D .

Passo 9

Agora, vamos pelo método dos cofatores. Primeiro, precisamos encontrar a matriz dos cofatores de D , depois a adjunta (que é a transposta da matriz de cofatores) e, finalmente, dividir pela determinante de D para obter a inversa.

Passo 10

Calculamos os cofatores para cada elemento de D . Lembrando que o cofator Cij é dado por:
Cij = (-1)^i+j cdot Mij
Onde Mij é o determinante do menor que sobra ao remover a linha i e a coluna j .
Vamos calcular cada cofator:
  • C11 = (-1)^1+1 cdot det [cc1 & -4 0 & 1] = 1 cdot (1*1 - (-4)*0) = 1
  • C12 = (-1)^1+2 cdot det [cc2 & -4 -1 & 1] = -1 cdot (2*1 - (-4)*(-1)) = -1 cdot (2 - 4) = 2
  • C13 = (-1)^1+3 cdot det [cc2 & 1 -1 & 0] = 1 cdot (2*0 - 1*(-1)) = 1
  • C21 = (-1)^2+1 cdot det [cc-1 & 2 0 & 1] = -1 cdot (-1*1 - 2*0) = 1
  • C22 = (-1)^2+2 cdot det [cc1 & 2 -1 & 1] = 1 cdot (1*1 - 2*(-1)) = 3
  • C23 = (-1)^2+3 cdot det [cc1 & -1 -1 & 0] = -1 cdot (1*0 - (-1)*(-1)) = -1
  • C31 = (-1)^3+1 cdot det [cc-1 & 2 1 & -4] = 1 cdot (-1*(-4) - 2*1) = 2
  • C32 = (-1)^3+2 cdot det [cc1 & 2 2 & -4] = -1 cdot (1*(-4) - 2*2) = 8
  • C33 = (-1)^3+3 cdot det [cc1 & -1 2 & 1] = 1 cdot (1*1 - (-1)*2) = 3

Passo 11

Montamos a matriz de cofatores:
Cofatores = [ccc 1 & 2 & 1 1 & 3 & -1 2 & 8 & 3 ]
Depois, tiramos a adjunta, que é a transposta da matriz de cofatores:
Adjunta = [ccc 1 & 1 & 2 2 & 3 & 8 1 & -1 & 3 ]

Passo 12

Sabemos que a inversa de D é dada por:
D^-1 = 1det(D) cdot Adjunta
Já vimos que det(D) = 1 , então:
D^-1 = 1 cdot [ccc 1 & 1 & 2 2 & 3 & 8 1 & -1 & 3 ] = [ccc 1 & 1 & 2 2 & 3 & 8 1 & -1 & 3 ]

Resposta

A inversa da matriz D é:
D^-1 = [ccc 1 & 1 & 2 2 & 3 & 8 1 & -1 & 3 ]

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