Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos:
- Pede o limite quando existir de
. - A expressão tem uma variável que tende a zero:
. - No numerador aparecem duas frações:
e . - Objetivo: determinar se o limite existe e, se existir, calcular o seu valor.
Passo 2
Ideia para resolver (explicação didática):
- Esse tipo de limite lembra a razão incremental (diferença de valores de uma função dividida por
), mas aqui vamos resolver por álgebra elementar: somar as frações no numerador, simplificar e cancelar o fator que está no denominador exterior. - Vou juntar as frações do numerador com um denominador comum e simplificar cuidadosamente, mostrando cada passo para que dê para reproduzir na prova sem calculadora.
Passo 3
Somar as frações do numerador fazendo denominador comum:
- Escrevendo explicitamente o numerador:
- Denominador comum é
. Colocando sobre o mesmo denominador:
- Somando os numeradores:
Passo 4
Substituir essa soma na expressão original e simplificar cancelando
:
- A expressão original fica
- Dividir por
é multiplicar por , portanto
- Aqui o cancelamento
é válido para ; como estamos calculando limite quando consideramos valores de próximos de e diferentes de , então a simplificação é legítima.
Passo 5
Calcular o limite da expressão simplificada usando continuidade:
- Agora temos, para
próximo de e ,
- A função racional
é contínua em (não há zero do denominador em , pois ). - Portanto o limite é o valor da função em
:
Passo 6
Interpretação extra (ajuda para a prova — opcional, mas útil):
- A expressão original é exatamente a razão incremental
para
. Portanto o limite é
.
- Diferençaquinha: a derivada de
é , e avaliando em dá , mesma resposta obtida algébrica e mais curta quando se reconhece derivada.