Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique.
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(-2+h)^{-1}+2^{-1}}{h}\

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos:
  • Pede o limite quando existir de \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{(-2+h)^{-1}+2^{-1}}{h}.
  • A expressão tem uma variável que tende a zero: h\to0.
  • No numerador aparecem duas frações: (-2+h)^{-1}=\dfrac{1}{-2+h} e 2^{-1}=\dfrac{1}{2}.
  • Objetivo: determinar se o limite existe e, se existir, calcular o seu valor.

Passo 2

Ideia para resolver (explicação didática):
  • Esse tipo de limite lembra a razão incremental (diferença de valores de uma função dividida por h), mas aqui vamos resolver por álgebra elementar: somar as frações no numerador, simplificar e cancelar o fator h que está no denominador exterior.
  • Vou juntar as frações do numerador com um denominador comum e simplificar cuidadosamente, mostrando cada passo para que dê para reproduzir na prova sem calculadora.

Passo 3

Somar as frações do numerador fazendo denominador comum:
  • Escrevendo explicitamente o numerador:
\frac{1}{-2+h}+\frac{1}{2}.
  • Denominador comum é 2(-2+h). Colocando sobre o mesmo denominador:
\frac{1}{-2+h}+\frac{1}{2} = \frac{2}{2(-2+h)}+\frac{-2+h}{2(-2+h)}.
  • Somando os numeradores:
\frac{2+(-2+h)}{2(-2+h)}=\frac{h}{2(-2+h)}.

Passo 4

Substituir essa soma na expressão original e simplificar cancelando h:
  • A expressão original fica
\frac{\dfrac{h}{2(-2+h)}}{h}.
  • Dividir por h é multiplicar por 1/h, portanto
\frac{\dfrac{h}{2(-2+h)}}{h} = \frac{h}{2(-2+h)}\cdot\frac{1}{h} = \frac{1}{2(-2+h)}.
  • Aqui o cancelamento h/h=1 é válido para h\neq0; como estamos calculando limite quando h\to0 consideramos valores de h próximos de 0 e diferentes de 0, então a simplificação é legítima.

Passo 5

Calcular o limite da expressão simplificada usando continuidade:
  • Agora temos, para h próximo de 0 e h\neq0,
\frac{(-2+h)^{-1}+2^{-1}}{h}=\frac{1}{2(-2+h)}.
  • A função racional g(h)=\dfrac{1}{2(-2+h)} é contínua em h=0 (não há zero do denominador em h=0, pois -2+0=-2\neq0).
  • Portanto o limite é o valor da função em h=0:
\lim_{h\to0}\frac{1}{2(-2+h)}=\frac{1}{2(-2+0)}=\frac{1}{-4}=-\tfrac{1}{4}.

Passo 6

Interpretação extra (ajuda para a prova — opcional, mas útil):
  • A expressão original é exatamente a razão incremental
\frac{f(-2+h)-f(-2)}{h}
para f(x)=\dfrac{1}{x}. Portanto o limite é f'(-2).
  • Diferençaquinha: a derivada de f(x)=x^{-1} é f'(x)=-x^{-2}, e avaliando em x=-2 f'(-2)=-\dfrac{1}{4}, mesma resposta obtida algébrica e mais curta quando se reconhece derivada.

Resposta

-\tfrac{1}{4}

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