Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas/observações iniciais:
- A expressão é a razão entre o numerador
e o denominador . - Ao substituir
diretamente temos numerador e denominador . - Portanto a forma obtida é uma forma indeterminada do tipo
. Isso significa que não dá para concluir o valor do limite só por substituição direta; é preciso manipular a expressão.
Passo 2
O que fazer com uma indeterminação
? Estratégias comuns:
- fatorar e cancelar termos comuns;
- racionalizar (usar o conjugado) quando aparece raiz;
- usar L’Hôpital (derivadas), se já souber usar e for permitido.
Aqui há uma raiz no denominador, então a técnica natural e elementar é racionalizar o denominador multiplicando pelo conjugado. Essa técnica elimina a raiz no denominador e costuma simplificar o quociente.
Passo 3
Multiplicamos numerador e denominador por
:
No denominador aplicamos a identidade
com
e
. Assim
Portanto a expressão fica
Passo 4
Agora note que
. Substituindo:
Para
podemos cancelar o fator
, obtendo a expressão simplificada válida para
próximos de
(exceto exatamente em
):
É importante observar que a igualdade após cancelamento vale para
próximos de
mas distintos de
; isso é suficiente para calcular o limite.
Passo 5
A função
é contínua no ponto
. Depois da simplificação, o limite passa a ser o limite de uma função contínua no ponto:
Calculando:
logo
Passo 6
Verificação alternativa (checar que o resultado faz sentido): aplicando a regra de L’Hôpital (já que tínhamos uma indeterminação
),
Pelo L’Hôpital,
confirmando o resultado.