Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{2-x}{\sqrt{x+2}-2}\

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 2}\frac{2-x}{\sqrt{x+2}-2}.
Informações dadas/observações iniciais:
  • A expressão é a razão entre o numerador 2-x e o denominador \sqrt{x+2}-2.
  • Ao substituir x=2 diretamente temos numerador 2-2=0 e denominador \sqrt{4}-2=2-2=0.
  • Portanto a forma obtida é uma forma indeterminada do tipo \tfrac{0}{0}. Isso significa que não dá para concluir o valor do limite só por substituição direta; é preciso manipular a expressão.

Passo 2

O que fazer com uma indeterminação \tfrac{0}{0}? Estratégias comuns:
  • fatorar e cancelar termos comuns;
  • racionalizar (usar o conjugado) quando aparece raiz;
  • usar L’Hôpital (derivadas), se já souber usar e for permitido.
    Aqui há uma raiz no denominador, então a técnica natural e elementar é racionalizar o denominador multiplicando pelo conjugado \sqrt{x+2}+2. Essa técnica elimina a raiz no denominador e costuma simplificar o quociente.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{x+2}+2:
\frac{2-x}{\sqrt{x+2}-2}\cdot\frac{\sqrt{x+2}+2}{\sqrt{x+2}+2} = \frac{(2-x)\bigl(\sqrt{x+2}+2\bigr)}{\bigl(\sqrt{x+2}-2\bigr)\bigl(\sqrt{x+2}+2\bigr)}.
No denominador aplicamos a identidade (a-b)(a+b)=a^2-b^2 com a=\sqrt{x+2} e b=2. Assim
\bigl(\sqrt{x+2}-2\bigr)\bigl(\sqrt{x+2}+2\bigr)=(\sqrt{x+2})^2-2^2=x+2-4=x-2.
Portanto a expressão fica
\frac{(2-x)\bigl(\sqrt{x+2}+2\bigr)}{x-2}.

Passo 4

Agora note que (2-x)=-(x-2). Substituindo:
\frac{(2-x)\bigl(\sqrt{x+2}+2\bigr)}{x-2} =\frac{-(x-2)\bigl(\sqrt{x+2}+2\bigr)}{x-2}.
Para x\neq 2 podemos cancelar o fator x-2, obtendo a expressão simplificada válida para x próximos de 2 (exceto exatamente em 2):
-(\sqrt{x+2}+2).
É importante observar que a igualdade após cancelamento vale para x próximos de 2 mas distintos de 2; isso é suficiente para calcular o limite.

Passo 5

A função \sqrt{x+2} é contínua no ponto x=2. Depois da simplificação, o limite passa a ser o limite de uma função contínua no ponto:
\lim_{x\to 2} -\bigl(\sqrt{x+2}+2\bigr) = -\bigl(\sqrt{2+2}+2\bigr).
Calculando:
\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2,
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-\bigl(2+2\bigr)=-4.

Passo 6

Verificação alternativa (checar que o resultado faz sentido): aplicando a regra de L’Hôpital (já que tínhamos uma indeterminação \tfrac{0}{0}),
\text{derivada do numerador}= \frac{d}{dx}(2-x)=-1, \qquad \text{derivada do denominador}= \frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x+2}-2\bigr)=\frac{1}{2\sqrt{x+2}}.
Pelo L’Hôpital,
\lim_{x\to 2}\frac{2-x}{\sqrt{x+2}-2} =\lim_{x\to 2}\frac{-1}{\tfrac{1}{2\sqrt{x+2}}} =-1\cdot 2\sqrt{2+2}=-2\cdot 2=-4,
confirmando o resultado.

Resposta

-4

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