Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- É dado o limite
. - O que se pede é descobrir se esse limite existe e, caso exista, encontrar o seu valor.
Informações relevantes:
- A expressão é uma razão entre a diferença
e a diferença . - Estamos olhando o comportamento quando
se aproxima de , mas não é igual a (pois no numerador e denominador aparecem quantidades que se anulam em ).
Passo 2
Vamos simplificar a expressão algébrica do numerador. Para subtrair
e
coloque as frações no mesmo denominador:
Aqui cada passo: transformar
em
e
em
, depois subtrair os numeradores.
Passo 3
Substituindo o numerador simplificado na expressão do limite, obtemos
Aqui reescrevi a divisão de frações como multiplicação pelo inverso.
Passo 4
Observe que
e
estão relacionados por um sinal:
Substituindo isso na expressão do passo anterior:
Como estamos calculando um limite quando
(ou seja, para
próximo de
mas
), podemos cancelar o fator
no numerador e denominador, obtendo a expressão simplificada válida para
:
Passo 5
Agora usamos a expressão simplificada para calcular o limite. A função
é uma função racional contínua em torno de
(o denominador
é diferente de zero quando
está próximo de
), por isso o limite quando
é dado pela substituição direta:
Passo 6
Interpretação alternativa (intuição útil para a prova): a expressão original é exatamente o quociente incremental de
em relação a
, isto é,
e o limite quando
é a derivada
. Calculando
, temos
, que coincide com o resultado obtido pela simplificação algébrica.