Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique.
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{3}}{x-3}\

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • É dado o limite \displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{3}}{x-3}.
  • O que se pede é descobrir se esse limite existe e, caso exista, encontrar o seu valor.
Informações relevantes:
  • A expressão é uma razão entre a diferença \frac{1}{x}-\frac{1}{3} e a diferença x-3.
  • Estamos olhando o comportamento quando x se aproxima de 3, mas não é igual a 3 (pois no numerador e denominador aparecem quantidades que se anulam em x=3).

Passo 2

Vamos simplificar a expressão algébrica do numerador. Para subtrair \dfrac{1}{x} e \dfrac{1}{3} coloque as frações no mesmo denominador:
\frac{1}{x}-\frac{1}{3}=\frac{3}{3x}-\frac{x}{3x}=\frac{3-x}{3x}.
Aqui cada passo: transformar \dfrac{1}{x} em \dfrac{3}{3x} e \dfrac{1}{3} em \dfrac{x}{3x}, depois subtrair os numeradores.

Passo 3

Substituindo o numerador simplificado na expressão do limite, obtemos
\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{3}}{x-3}=\frac{\dfrac{3-x}{3x}}{x-3}=\frac{3-x}{3x(x-3)}.
Aqui reescrevi a divisão de frações como multiplicação pelo inverso.

Passo 4

Observe que 3-x e x-3 estão relacionados por um sinal:
3-x=-(x-3).
Substituindo isso na expressão do passo anterior:
\frac{3-x}{3x(x-3)}=\frac{-(x-3)}{3x(x-3)}.
Como estamos calculando um limite quando x\to 3 (ou seja, para x próximo de 3 mas x\neq 3), podemos cancelar o fator (x-3) no numerador e denominador, obtendo a expressão simplificada válida para x\neq 3:
\frac{-(x-3)}{3x(x-3)}=-\frac{1}{3x}\qquad (x\neq 3).

Passo 5

Agora usamos a expressão simplificada para calcular o limite. A função -\dfrac{1}{3x} é uma função racional contínua em torno de x=3 (o denominador 3x é diferente de zero quando x está próximo de 3), por isso o limite quando x\to 3 é dado pela substituição direta:
\lim_{x\to 3}\left(-\frac{1}{3x}\right)=-\frac{1}{3\cdot 3}=-\frac{1}{9}.

Passo 6

Interpretação alternativa (intuição útil para a prova): a expressão original é exatamente o quociente incremental de f(x)=\dfrac{1}{x} em relação a x=3, isto é,
\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{3}}{x-3},
e o limite quando x\to 3 é a derivada f'(3). Calculando f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}, temos f'(3)=-\dfrac{1}{9}, que coincide com o resultado obtido pela simplificação algébrica.

Resposta

-\frac{1}{9}

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