Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique.
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{9+h}-3}{h}\

Passo 1

O enunciado pede: calcular o limite
\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{9+h}-3}{h}.
Informações dadas:
  • A variável que tende a zero é h.
  • A expressão é \dfrac{\sqrt{9+h}-3}{h}.
  • Se substituirmos h=0 diretamente, o numerador fica \sqrt{9}-3=3-3=0 e o denominador fica 0, ou seja obtemos a forma indeterminada 0/0. Portanto não dá para concluir o valor do limite por substituição direta; é preciso manipular a expressão para remover a indeterminação.

Passo 2

Entendendo o que fazer — ideia e justificativa passo a passo (sem pular etapas).
  • Quando surge 0/0, uma técnica clássica é tentar simplificar a expressão algébrica para cancelar o fator que causa o zero no denominador. Aqui o problema está no numerador com uma raiz; usamos o conjugado da diferença para eliminar a raiz.
  • O conjugado de \sqrt{9+h}-3 é \sqrt{9+h}+3. Multiplicamos numerador e denominador por esse conjugado (isso não muda o valor da expressão desde que h\neq0; lembrando que para o limite consideramos valores de h próximos a 0, mas diferentes de 0).
Aplicando a multiplicação por conjugado:
\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}\cdot\frac{\sqrt{9+h}+3}{\sqrt{9+h}+3} = \frac{(\sqrt{9+h}-3)(\sqrt{9+h}+3)}{h(\sqrt{9+h}+3)}.

Passo 3

Fazer a multiplicação no numerador usando a identidade (a-b)(a+b)=a^2-b^2 (aqui a=\sqrt{9+h} e b=3):
(\sqrt{9+h}-3)(\sqrt{9+h}+3)=(\sqrt{9+h})^2-3^2=9+h-9=h.
Substituindo isso na fração:
\frac{(\sqrt{9+h}-3)(\sqrt{9+h}+3)}{h(\sqrt{9+h}+3)}=\frac{h}{h(\sqrt{9+h}+3)}.
Agora, para h\neq0 podemos cancelar h em numerador e denominador:
\frac{h}{h(\sqrt{9+h}+3)}=\frac{1}{\sqrt{9+h}+3}.
Portanto, para todo h próximo de 0 (mas diferente de 0) a expressão original é igual a \dfrac{1}{\sqrt{9+h}+3}.

Passo 4

Calcular o limite da expressão simplificada. Como agora a expressão não é indeterminada quando h\to0, podemos usar substituição direta (a função \sqrt{\,\cdot\,} é contínua em 9, e o denominador \sqrt{9+h}+3 tende para 6\neq0, então não há problema):
\lim_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{9+h}+3}=\frac{1}{\sqrt{9+0}+3}=\frac{1}{3+3}=\frac{1}{6}.

Passo 5

Interpretação extra (útil para prova, não obrigatória): essa expressão é exatamente o quociente diferencial \dfrac{f(9+h)-f(9)}{h} para f(x)=\sqrt{x}. Logo esse limite é f'(9). A fórmula geral da derivada de f(x)=\sqrt{x} é f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}, e avaliando em x=9 obtemos \dfrac{1}{2\cdot3}=\dfrac{1}{6}, o mesmo resultado obtido por racionalização.

Resposta

\dfrac{1}{6}

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