Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas:
- A variável que tende a zero é
. - A expressão é
. - Se substituirmos
diretamente, o numerador fica e o denominador fica , ou seja obtemos a forma indeterminada . Portanto não dá para concluir o valor do limite por substituição direta; é preciso manipular a expressão para remover a indeterminação.
Passo 2
Entendendo o que fazer — ideia e justificativa passo a passo (sem pular etapas).
- Quando surge
, uma técnica clássica é tentar simplificar a expressão algébrica para cancelar o fator que causa o zero no denominador. Aqui o problema está no numerador com uma raiz; usamos o conjugado da diferença para eliminar a raiz. - O conjugado de
é . Multiplicamos numerador e denominador por esse conjugado (isso não muda o valor da expressão desde que ; lembrando que para o limite consideramos valores de próximos a , mas diferentes de ).
Aplicando a multiplicação por conjugado:
Passo 3
Fazer a multiplicação no numerador usando a identidade
(aqui
e
):
Substituindo isso na fração:
Agora, para
podemos cancelar
em numerador e denominador:
Portanto, para todo
próximo de
(mas diferente de
) a expressão original é igual a
.
Passo 4
Calcular o limite da expressão simplificada. Como agora a expressão não é indeterminada quando
, podemos usar substituição direta (a função
é contínua em
, e o denominador
tende para
, então não há problema):
Passo 5
Interpretação extra (útil para prova, não obrigatória): essa expressão é exatamente o quociente diferencial
para
. Logo esse limite é
. A fórmula geral da derivada de
é
, e avaliando em
obtemos
, o mesmo resultado obtido por racionalização.