Calcule o limite, se existir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
- A variável que tende a zero é
. - O numerador é a diferença de dois recíprocos:
e . - Deve-se avaliar o comportamento da expressão quando
se aproxima de .
Passo 2
Vamos reescrever o numerador como uma única fração, colocando em evidência o fato de serem recíprocos. Calcular
Usando fração comum:
Agora simplificar o numerador da fração:
logo
Passo 3
Substituindo essa forma simplificada do numerador na expressão original do limite, obtemos
Uma divisão por
é o mesmo que multiplicar por
, então
Como estamos calculando um limite quando
, podemos simplificar o fator
(para
a expressão é equivalente), obtendo
Passo 4
Agora o limite fica fácil, porque não há mais indeterminação: a expressão é uma função contínua de
em torno de
(exceto em
, que não nos interessa). Aplicando a propriedade de continuidade (ou as regras de limite que permitem substituir
por
quando a expressão é contínua no ponto):
Passo 5
Comentário didático (útil para a prova): essa expressão é exatamente a diferença quociente de uma função recíproca no ponto
. Para uma
genérica,
Ou seja, a derivada formal de
é
. Avaliando em
obtém-se novamente
. Isso serve como atalho quando reconhecer essa forma na prova.