Calcule o limite, se existir.
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(3+h)^{-1}-3^{-1}}{h}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{h \rightarrow 0} \frac{(3+h)^{-1}-3^{-1}}{h}.
Informações dadas:
  • A variável que tende a zero é h.
  • O numerador é a diferença de dois recíprocos: (3+h)^{-1} e 3^{-1}.
  • Deve-se avaliar o comportamento da expressão quando h se aproxima de 0.

Passo 2

Vamos reescrever o numerador como uma única fração, colocando em evidência o fato de serem recíprocos. Calcular
(3+h)^{-1}-3^{-1}=\frac{1}{3+h}-\frac{1}{3}.
Usando fração comum:
\frac{1}{3+h}-\frac{1}{3}=\frac{3-(3+h)}{3(3+h)}.
Agora simplificar o numerador da fração:
3-(3+h)=3-3-h=-h,
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(3+h)^{-1}-3^{-1}=\frac{-h}{3(3+h)}.

Passo 3

Substituindo essa forma simplificada do numerador na expressão original do limite, obtemos
\frac{(3+h)^{-1}-3^{-1}}{h}=\frac{\displaystyle\frac{-h}{3(3+h)}}{h}.
Uma divisão por h é o mesmo que multiplicar por 1/h, então
\frac{\displaystyle\frac{-h}{3(3+h)}}{h}=\frac{-h}{3(3+h)}\cdot\frac{1}{h}.
Como estamos calculando um limite quando h\to0, podemos simplificar o fator h (para h\neq0 a expressão é equivalente), obtendo
\frac{-h}{3(3+h)}\cdot\frac{1}{h}=\frac{-1}{3(3+h)}.

Passo 4

Agora o limite fica fácil, porque não há mais indeterminação: a expressão é uma função contínua de h em torno de 0 (exceto em h=-3, que não nos interessa). Aplicando a propriedade de continuidade (ou as regras de limite que permitem substituir h por 0 quando a expressão é contínua no ponto):
\lim_{h\to0}\frac{-1}{3(3+h)}=\frac{-1}{3(3+0)}=\frac{-1}{9}.

Passo 5

Comentário didático (útil para a prova): essa expressão é exatamente a diferença quociente de uma função recíproca no ponto 3. Para uma x genérica,
\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{-1}-x^{-1}}{h}=\lim_{h\to0}\frac{-1}{x(x+h)}=-\frac{1}{x^{2}}.
Ou seja, a derivada formal de f(x)=x^{-1} é f'(x)=-x^{-2}. Avaliando em x=3 obtém-se novamente -1/9. Isso serve como atalho quando reconhecer essa forma na prova.

Resposta

-\dfrac{1}{9}

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