Encontre, se existir, a matriz inversa de
A=\left(\begin{array}{ccc} -2 & 1 & -1 \\\\ 3 & 1 & 2 \\\\ 1 & -2 & 0 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar, se existir, a matriz inversa de
A=\begin{pmatrix} -2 & 1 & -1 \\\\ 3 & 1 & 2 \\\\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix}.
Informações dadas:
  • A matriz A é uma matriz 3\times3 com entradas explícitas listadas acima.
  • A tarefa é determinar A^{-1} quando ela existir (ou seja, se A for invertível).

Passo 2

Conceito importante (explicação didática). Uma matriz quadrada A tem inversa A^{-1} se, e somente se, o determinante \det(A) for diferente de zero. Quando existe,
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a adjunta (ou adjugata) de A, obtida como a transposta da matriz dos cofatores de A.
Explicando os termos:
  • O determinante \det(A) é um número associado a A; se \det(A)=0 a matriz não tem inversa.
  • O menor de ordem 2 (ou menor M_{ij}) é o determinante da submatriz obtida de A eliminando a linha i e a coluna j.
  • O cofator C_{ij} é definido por C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}).
  • A adjunta \operatorname{adj}(A) é a matriz cujos elementos são C_{ji} (ou seja, a transposta da matriz (C_{ij})).
Vou calcular \det(A) primeiro para saber se a inversa existe.

Passo 3

Cálculo do determinante de A por expansão na primeira linha (fórmula geral para 3\times3):
\det(A)=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}).
Aqui a_{11}=-2, a_{12}=1, a_{13}=-1; a_{21}=3, a_{22}=1, a_{23}=2; a_{31}=1, a_{32}=-2, a_{33}=0. Substituindo:
\begin{aligned} \det(A)&=-2\big(1\cdot0-2\cdot(-2)\big)-1\big(3\cdot0-2\cdot1\big)+(-1)\big(3\cdot(-2)-1\cdot1\big)\\[4pt] &=-2\big(0-(-4)\big)-1\big(0-2\big)-1\big(-6-1\big)\\[4pt] &=-2\cdot4 -1\cdot(-2) -1\cdot(-7)\\[4pt] &=-8+2+7=1. \end{aligned}
Como \det(A)=1\neq0, a inversa existe. Além disso, como o determinante é 1, teremos A^{-1}=\operatorname{adj}(A) (nenhuma divisão necessária).]

Passo 4

Agora vou calcular a matriz dos cofatores (C_{ij}). Para cada C_{ij} preciso do menor M_{ij} (determinante da submatriz 2\times2) e do sinal (-1)^{i+j}.
Calcular C_{11}: eliminar linha 1 e coluna 1 dá a submatriz \begin{pmatrix}1 & 2\\\\ -2 & 0\end{pmatrix}. O menor é 1\cdot0-2\cdot(-2)=4. Como (-1)^{1+1}=+1, tem-se
C_{11}=4.
Calcular C_{12}: eliminar linha 1 e coluna 2 dá \begin{pmatrix}3 & 2\\\\ 1 & 0\end{pmatrix}. O menor é 3\cdot0-2\cdot1=-2. O sinal é (-1)^{1+2}=-1, portanto
C_{12}=(-1)(-2)=2.
Calcular C_{13}: eliminar linha 1 e coluna 3 dá \begin{pmatrix}3 & 1\\\\ 1 & -2\end{pmatrix}. O menor é 3\cdot(-2)-1\cdot1=-7. O sinal é (-1)^{1+3}=+1, então
C_{13}=-7.
Calcular C_{21}: eliminar linha 2 e coluna 1 dá \begin{pmatrix}1 & -1\\\\ -2 & 0\end{pmatrix}. O menor é 1\cdot0-(-1)\cdot(-2)= -2. O sinal é (-1)^{2+1}=-1, então
C_{21}=(-1)(-2)=2.
Calcular C_{22}: eliminar linha 2 e coluna 2 dá \begin{pmatrix}-2 & -1\\\\ 1 & 0\end{pmatrix}. O menor é -2\cdot0-(-1)\cdot1=1. O sinal é (-1)^{2+2}=+1, logo
C_{22}=1.
Calcular C_{23}: eliminar linha 2 e coluna 3 dá \begin{pmatrix}-2 & 1\\\\ 1 & -2\end{pmatrix}. O menor é -2\cdot(-2)-1\cdot1=3. O sinal é (-1)^{2+3}=-1, então
C_{23}=-3.
Calcular C_{31}: eliminar linha 3 e coluna 1 dá \begin{pmatrix}1 & -1\\\\ 1 & 2\end{pmatrix}. O menor é 1\cdot2-(-1)\cdot1=3. O sinal é (-1)^{3+1}=+1, então
C_{31}=3.
Calcular C_{32}: eliminar linha 3 e coluna 2 dá \begin{pmatrix}-2 & -1\\\\ 3 & 2\end{pmatrix}. O menor é -2\cdot2-(-1)\cdot3=-1. O sinal é (-1)^{3+2}=-1, logo
C_{32}=(-1)(-1)=1.
Calcular C_{33}: eliminar linha 3 e coluna 3 dá \begin{pmatrix}-2 & 1\\\\ 3 & 1\end{pmatrix}. O menor é -2\cdot1-1\cdot3=-5. O sinal é (-1)^{3+3}=+1, então
C_{33}=-5.
Assim, a matriz dos cofatores é
(C_{ij})=\begin{pmatrix} 4 & 2 & -7 \\\\ 2 & 1 & -3 \\\\ 3 & 1 & -5 \end{pmatrix}.

Passo 5

A adjunta (adjugata) \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz dos cofatores:
\operatorname{adj}(A)=(C_{ij})^{\mathsf{T}}= \begin{pmatrix} 4 & 2 & 3 \\\\ 2 & 1 & 1 \\\\ -7 & -3 & -5 \end{pmatrix}.
Como \det(A)=1, a inversa é simplesmente
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)=\operatorname{adj}(A).

Passo 6

Verificação (rápida e opcional, só para confiança). Multiplicando A por A^{-1} obtém-se a identidade I_3. Exemplo de um produto de entrada: a primeira linha de A vezes a primeira coluna de A^{-1} -2\cdot4+1\cdot2+(-1)\cdot(-7)=1. As demais entradas também conferem, portanto está correto.

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix} 4 & 2 & 3 \\\\ 2 & 1 & 1 \\\\ -7 & -3 & -5 \end{pmatrix}

Exercícios relacionados