A matriz A é uma matriz 3\times3 com entradas explícitas listadas acima.
A tarefa é determinar A^{-1} quando ela existir (ou seja, se A for invertível).
Passo 2
Conceito importante (explicação didática). Uma matriz quadrada A tem inversa A^{-1} se, e somente se, o determinante \det(A) for diferente de zero. Quando existe,
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a adjunta (ou adjugata) de A, obtida como a transposta da matriz dos cofatores de A.
Explicando os termos:
O determinante \det(A) é um número associado a A; se \det(A)=0 a matriz não tem inversa.
O menor de ordem 2 (ou menor M_{ij}) é o determinante da submatriz obtida de A eliminando a linha i e a coluna j.
O cofator C_{ij} é definido por C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}).
A adjunta \operatorname{adj}(A) é a matriz cujos elementos são C_{ji} (ou seja, a transposta da matriz (C_{ij})).
Vou calcular \det(A) primeiro para saber se a inversa existe.
Passo 3
Cálculo do determinante de A por expansão na primeira linha (fórmula geral para 3\times3):
Como \det(A)=1\neq0, a inversa existe. Além disso, como o determinante é 1, teremos A^{-1}=\operatorname{adj}(A) (nenhuma divisão necessária).]
Passo 4
Agora vou calcular a matriz dos cofatores (C_{ij}). Para cada C_{ij} preciso do menor M_{ij} (determinante da submatriz 2\times2) e do sinal (-1)^{i+j}.
Calcular C_{11}: eliminar linha 1 e coluna 1 dá a submatriz \begin{pmatrix}1 & 2\\\\ -2 & 0\end{pmatrix}. O menor é 1\cdot0-2\cdot(-2)=4. Como (-1)^{1+1}=+1, tem-se
C_{11}=4.
Calcular C_{12}: eliminar linha 1 e coluna 2 dá \begin{pmatrix}3 & 2\\\\ 1 & 0\end{pmatrix}. O menor é 3\cdot0-2\cdot1=-2. O sinal é (-1)^{1+2}=-1, portanto
C_{12}=(-1)(-2)=2.
Calcular C_{13}: eliminar linha 1 e coluna 3 dá \begin{pmatrix}3 & 1\\\\ 1 & -2\end{pmatrix}. O menor é 3\cdot(-2)-1\cdot1=-7. O sinal é (-1)^{1+3}=+1, então
C_{13}=-7.
Calcular C_{21}: eliminar linha 2 e coluna 1 dá \begin{pmatrix}1 & -1\\\\ -2 & 0\end{pmatrix}. O menor é 1\cdot0-(-1)\cdot(-2)= -2. O sinal é (-1)^{2+1}=-1, então
C_{21}=(-1)(-2)=2.
Calcular C_{22}: eliminar linha 2 e coluna 2 dá \begin{pmatrix}-2 & -1\\\\ 1 & 0\end{pmatrix}. O menor é -2\cdot0-(-1)\cdot1=1. O sinal é (-1)^{2+2}=+1, logo
C_{22}=1.
Calcular C_{23}: eliminar linha 2 e coluna 3 dá \begin{pmatrix}-2 & 1\\\\ 1 & -2\end{pmatrix}. O menor é -2\cdot(-2)-1\cdot1=3. O sinal é (-1)^{2+3}=-1, então
C_{23}=-3.
Calcular C_{31}: eliminar linha 3 e coluna 1 dá \begin{pmatrix}1 & -1\\\\ 1 & 2\end{pmatrix}. O menor é 1\cdot2-(-1)\cdot1=3. O sinal é (-1)^{3+1}=+1, então
C_{31}=3.
Calcular C_{32}: eliminar linha 3 e coluna 2 dá \begin{pmatrix}-2 & -1\\\\ 3 & 2\end{pmatrix}. O menor é -2\cdot2-(-1)\cdot3=-1. O sinal é (-1)^{3+2}=-1, logo
C_{32}=(-1)(-1)=1.
Calcular C_{33}: eliminar linha 3 e coluna 3 dá \begin{pmatrix}-2 & 1\\\\ 3 & 1\end{pmatrix}. O menor é -2\cdot1-1\cdot3=-5. O sinal é (-1)^{3+3}=+1, então
Verificação (rápida e opcional, só para confiança). Multiplicando A por A^{-1} obtém-se a identidade I_3. Exemplo de um produto de entrada: a primeira linha de A vezes a primeira coluna de A^{-1} dá -2\cdot4+1\cdot2+(-1)\cdot(-7)=1. As demais entradas também conferem, portanto está correto.