Encontre uma parametrização das curvas a partir da equação cartesiana abaixo:
(x-1)^23-(y-2)^24=2

Passo 1

Na equação (x-1)^23-(y-2)^24=2 reconhecemos uma hipérbole deslocada de centro (1,2). Para parametrizar, vamos precisar reescrever na forma canônica (x-1)^2a^2-(y-2)^2b^2=1 e usar as parametrizações padrão de hipérboles com funções hiperbólicas.

Passo 2

Dividindo ambos os lados da equação por 2, obtemos a forma canônica:
(x-1)^26-(y-2)^28=1

Passo 3

Daí vemos que a^2=6 e b^2=8. A teoria de hipérboles diz que podemos usar funções hiperbólicas para parametrizar:
x-1=acosh(t), y-2=bsinh(t), tin R

Passo 4

Como cosh(t)>=1, isso cobre o ramo direito da hipérbole (onde x>1). Para o ramo esquerdo (onde x<1), basta trocar o sinal de cosh(t) em x-1, mantendo y-2=bsinh(t).

Resposta

Ramo direito: (x(t),y(t))=(1+raiz6cosh(t),,2+raiz8sinh(t)),;tin R Ramo esquerdo: (x(t),y(t))=(1-raiz6cosh(t),,2+raiz8sinh(t)),;tin R

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