Seja X a variável aleatória que represente o número de homens com mais de 40 anos de idade, diagnosticados com câncer de próstata, que sobrevivam por 10 anos ou mais. Admita também que a taxa de sobrevivência seja de apenas 1,1 %. Pede-se: em uma amostra aleatória de 450 homens com mais de 40 anos de idade, diagnosticados com câncer de próstata, calcule a probabilidade de que pelo menos 2 homens sobrevivam.

Passo 1

Vamos lá! Temos um problema de probabilidade onde queremos descobrir a chance de, em uma amostra de 450 homens com mais de 40 anos diagnosticados com câncer de próstata, pelo menos 2 deles sobrevivam por 10 anos ou mais. A taxa de sobrevivência é de 1,1%. Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é ótima para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possibilidades de resultado (sucesso ou fracasso).

Passo 2

Primeiro, vamos definir os parâmetros da distribuição binomial:
  • n é o número total de tentativas, que nesse caso é 450 homens.
  • p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa, que é 1,1% ou 0,011.

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de pelo menos 2 homens sobreviverem, ou seja, . Em termos de probabilidade, isso é o mesmo que 1 menos a probabilidade de nenhum homem sobreviver ( ) menos a probabilidade de exatamente 1 homem sobreviver ( ).
Matematicamente:

Passo 4

Vamos calcular usando a fórmula da distribuição binomial:
Simplificando:

Passo 5

Agora, calculamos :
Simplificando:

Passo 6

Vamos calcular os valores numéricos:
  • Primeiro, calculamos :
(Usamos a aproximação para simplificar o cálculo)
  • Então,
  • E

Passo 7

Agora, substituímos os valores na fórmula original:

Resposta

A probabilidade de que pelo menos 2 homens sobrevivam é aproximadamente 96,03%.

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