Encontre a expansão em série de Fourier da função periódica de período
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Passo 1
O enunciado pede para encontrar a série de Fourier de uma função periódica de período 2 (ou seja, T=2L com L=1), definida por
O conteúdo principal é série de Fourier em um intervalo
Passo 2
A fórmula geral da série de Fourier para uma função de período
2L é
com
Passo 3
Observando que
f(-x)=f(x) para todo
x , concluímos que
f é par. Então todos os coeficientes
bn são zero e a série só terá termos em cosseno.
Passo 4
Vamos calcular
a0 . Como
L=1 ,
$$a_0=\int_{-1}1f(x),dx=\int_{-1}0(1+x),dx+\int_0^1(1-x),dx.
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Passo 5
Agora calculamos
an para
n>=1 . Usando paridade,
$$a_n=\int_{-1}^1f(x)\cos(n\pi x),dx=2\int_0^1(1-x)\cos(n\pi x),dx.
\begin{cases}0,&npar,\\displaystyle\frac{4}{n2\pi2},&nímpar.
\end{cases}$$
Passo 6
Reunindo tudo, a expansão em série de Fourier fica
onde só aparecem