Encontre a expansão em série de Fourier da função periódica de período T=2 L.
f(x)=cc1+x, & -1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a série de Fourier de uma função periódica de período 2 (ou seja, T=2L com L=1), definida por
f(x)=1+x,&-1
O conteúdo principal é série de Fourier em um intervalo [-L,L] e vamos precisar das fórmulas para os coeficientes a0, an e bn.

Passo 2

A fórmula geral da série de Fourier para uma função de período 2L é
f(x)=a02+sumn=1^inftyl(ancosnpi xL+bnsinnpi xLr),
com
a0=1Lintegral-L^Lf(x),dx, an=1Lintegral-L^Lf(x)cosnpi xL,dx, bn=1Lintegral-L^Lf(x)sinnpi xL,dx

Passo 3

Observando que f(-x)=f(x) para todo x, concluímos que f é par. Então todos os coeficientes bn são zero e a série só terá termos em cosseno.

Passo 4

Vamos calcular a0. Como L=1,
$$a_0=\int_{-1}1f(x),dx=\int_{-1}0(1+x),dx+\int_0^1(1-x),dx.
a0=integral-1^1f(x),dx=integral-1^0(1+x),dx+integral0^1(1-x),dx \int_{-1}0(1+x)dx=\Bigl[x+\tfrac{x2}{2}\Bigr]_{-1}^0=-\bigl(-1+\tfrac12\bigr)=\tfrac12,$$
integral-1^0(1+x)dx=l[x+tfracx^22r]-1^0=-l(-1+tfrac12r)=tfrac12,
Logo integral0^1(1-x)dx=l[x-tfracx^22r]0^1=1-tfrac12=tfrac12, e o termo constante da série é a0=tfrac12+tfrac12=1.

Passo 5

Agora calculamos an para n>=1. Usando paridade,
$$a_n=\int_{-1}^1f(x)\cos(n\pi x),dx=2\int_0^1(1-x)\cos(n\pi x),dx.
an=integral-1^1f(x)cos(npi x),dx=2integral0^1(1-x)cos(npi x),dx çã\int_0^1(1-x)\cos(n\pi x)dx=\frac{1-(-1)n}{n2\pi^2}.
integral0^1xcos(npi x)dxa_n=2\cdot\frac{1-(-1)n}{n2\pi^2}=
\begin{cases}0,&npar,\\displaystyle\frac{4}{n2\pi2},&nímpar.
\end{cases}$$

Passo 6

Reunindo tudo, a expansão em série de Fourier fica
f(x)=12+sumn=1^infty ancos(npi x),
onde só aparecem n ímpares com
a2k-1=4(2k-1)^2pi^2, k=1,2,3,dots.

Resposta

f(x)=12+sumk=1^infty4(2k-1)^2pi^2,cosl((2k-1)pi xr)

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