Use o Exemplo 1 ou 3 e o Teorema (11.19) ou (11.20) para determinar se a série converge ou diverge.
110 cdot 11+111 cdot 12+ldots+1(n+9)(n+10)+cdots

Passo 1

O exercício pede para decidir se a série sumn=1^infty 1(n+9)(n+10) converge ou diverge. O conteúdo principal é séries telescópicas, e vamos usar o Exemplo 1 (que mostra como séries com decomposição em frações parciais podem telescopar) junto com o Teorema (11.19) sobre convergência de séries telescópicas.

Passo 2

Para aplicar o telescópio, fazemos a decomposição em frações parciais. Note que a diferença entre os denominadores é 1, então
1(n+9)(n+10) = 1(n+10)-(n+9)l(1n+9-1n+10r) = 1n+9-1n+10
Logo, o termo geral é uma diferença telescópica de dois termos que se cancelam em somas parciais.

Passo 3

Considere a soma parcial SN=sumn=1^Nl(1n+9-1n+10r). Expandindo, vemos que muitos termos internos se cancelam, sobrando apenas
SN=l(110-111r)+l(111-112r)+cdots+l(1N+9-1N+10r) = 110-1N+10

Passo 4

Pelo Teorema (11.19), se o limite limNtoinftySN existe finito, a série converge para esse valor. Calculando o limite,
limNtoinftySN = limNtoinftyl(110-1N+10r) = 110

Resposta

A série converge e sua soma é tfrac110.

Exercícios relacionados