Use o Exemplo 1 ou 3 e o Teorema (11.19) ou (11.20) para determinar se a série converge ou diverge.
Passo 1
O exercício pede para decidir se a série
converge ou diverge. O conteúdo principal é séries telescópicas, e vamos usar o Exemplo 1 (que mostra como séries com decomposição em frações parciais podem telescopar) junto com o Teorema (11.19) sobre convergência de séries telescópicas.
Passo 2
Para aplicar o telescópio, fazemos a decomposição em frações parciais. Note que a diferença entre os denominadores é 1, então
Logo, o termo geral é uma diferença telescópica de dois termos que se cancelam em somas parciais.
Passo 3
Considere a soma parcial
. Expandindo, vemos que muitos termos internos se cancelam, sobrando apenas
Passo 4
Pelo Teorema (11.19), se o limite
existe finito, a série converge para esse valor. Calculando o limite,
Resposta
A série converge e sua soma é
.