Encontre a expansão em série de Fourier da função periódica de período
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a expansão em série de Fourier para a função periódica
com período
. Para fazer isso, vamos usar conceitos de séries de Fourier, que ajudam a representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Vamos precisar saber como calcular os coeficientes da série de Fourier e usar algumas identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier para uma função com período
tem a forma:
Como nossa função
é uma função par (simétrica em relação ao eixo y), os coeficientes
vão ser zero. Então, precisamos calcular apenas os coeficientes
e
.
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente
, que é dado por:
Substituindo
e
:
Usando a identidade trigonométrica
, temos:
Calculando as integrais:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
para
:
Substituindo
e
:
Vamos usar novamente a identidade
:
As duas integrais envolvem produtos de cossenos, que podem ser resolvidas usando a identidade do produto de cossenos:
Aplicando isso nas integrais:
E,
Essas integrais serão zero a menos que
, ou seja,
. Contudo, como
é um inteiro, exceto para valores específicos de
, esses termos geralmente serão zero. Portanto, para simplificar, concluímos que
para
.
Resposta
A expansão em série de Fourier da função
com período
é: