Encontre a expansão em série de Fourier da função periódica de período T=2 L.
f(x)=cos ^2(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a expansão em série de Fourier para a função periódica com período . Para fazer isso, vamos usar conceitos de séries de Fourier, que ajudam a representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Vamos precisar saber como calcular os coeficientes da série de Fourier e usar algumas identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier para uma função com período f(x) = a02 + sumn=1^infty ( an cos( npi xL ) + bn sin( npi xL ) ) tem a forma:
Como nossa função é uma função par (simétrica em relação ao eixo y), os coeficientes vão ser zero. Então, precisamos calcular apenas os coeficientes e .

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente a0 = 2T integral-L^L f(x) , dx , que é dado por:
a0 = 22L integral-L^L cos^2(x) , dx = 1L integral-L^L cos^2(x) , dx
Substituindo a0 = 1L integral-L^L 1 + cos(2x)2 , dx = 12L [ integral-L^L 1 , dx + integral-L^L cos(2x) , dx ] e integral-L^L 1 , dx = 2L e integral-L^L cos(2x) , dx = 0 :
a0 = 12L times 2L = 1
Usando a identidade trigonométrica , temos:
Calculando as integrais:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes an = 2T integral-L^L f(x) cos( npi xL ) , dx para an = 22L integral-L^L cos^2(x) cos( npi xL ) , dx = 1L integral-L^L cos^2(x) cos( npi xL ) , dx :
an = 1L integral-L^L 1 + cos(2x)2 cos( npi xL ) , dx = 12L [ integral-L^L cos( npi xL ) , dx + integral-L^L cos(2x) cos( npi xL ) , dx ]
Substituindo cos(A)cos(B) = 12 [ cos(A - B) + cos(A + B) ] e integral-L^L cos( npi xL ) , dx = 0 (pois a função é ímpar) :
integral-L^L cos(2x) cos( npi xL ) , dx = 12 integral-L^L [ cos(2x - npi xL) + cos(2x + npi xL) ] dx
Vamos usar novamente a identidade :
As duas integrais envolvem produtos de cossenos, que podem ser resolvidas usando a identidade do produto de cossenos:
Aplicando isso nas integrais:
çãéí
E,
Essas integrais serão zero a menos que , ou seja, . Contudo, como é um inteiro, exceto para valores específicos de , esses termos geralmente serão zero. Portanto, para simplificar, concluímos que para .

Resposta

A expansão em série de Fourier da função f(x) = 12 + 12 cos( 2pi x2L ) = 12 + 12 cos( pi xL ) com período é:

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