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Determinar o tipo das seguintes equações diferenciais e indicar o método de resolução:
a) (x+y) y^prime+x arctg(yx)=0

Passo 1

Temos a EDO de primeira ordem

Precisamos classificar o tipo de equação e indicar o método de resolução. Vamos usar conceitos de EDOs homogêneas, separáveis, lineares etc.

Passo 2

Reescrevendo em forma explícita isolamos y’:

Note que o lado direito depende apenas do quociente y' = -xx+y;arctgl( yxr). Isso caracteriza uma EDO homogênea de primeira ordem.

Passo 3

Para resolver uma EDO homogênea fazemos a troca de variável
y = u,x, y' = u + xdudx.
Substituindo na equação original, temos

Passo 4

Simplificando temos

Dividindo por x(1+u)l(u + xtfracdudxr) + xarctg(u) = 0 e rearranjando chega-se a

Passo 5

Isso mostra que a equação em u e x é separável:

Logo o método é: reconhecer EDO homogênea, usar dxx = -1+uu(1+u) + arctg(u),du e depois resolver a EDO separável obtida.

Resposta

Equação diferencial homogênea de primeira ordem; resolvê-la por substituição y=ux, levando a uma equação separável.

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