Encontre a expansão em Série de Maclaurin, até o quarto termo, para função:
, para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a expansão em Série de Maclaurin até o quarto termo da função $ f(x) = \frac{1}{4 - x} $, válida para $ |x| < 4 $. Para isso, vamos usar o conceito de Série de Maclaurin, que é uma maneira de representar funções como somas infinitas de potências de $ x $. Vamos precisar reescrever a função de forma que possamos aplicar a fórmula da série de Maclaurin.
Passo 2
Primeiro, vamos manipular a função $ f(x) = \frac{1}{4 - x} $ para se assemelhar a uma forma conhecida cuja série de Maclaurin já conhecemos. Podemos fatorar o denominador:
Passo 3
Agora, observamos que temos a função $ \frac{1}{1 - u} $, cuja série de Maclaurin é conhecida:
Aqui, $ u = \frac{x}{4} $. Então, substituindo:
Passo 4
Multiplicando tudo por $ \frac{1}{4} $ para voltar à nossa função original:
Vamos agora expandir isso até o quarto termo:
Resposta
A expansão em Série de Maclaurin até o quarto termo para $ f(x) = \frac{1}{4 - x} $ é: