Encontre a expansão em Série de Maclaurin, até o quarto termo, para função: f(x)=14-x, para |x|<4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a expansão em Série de Maclaurin até o quarto termo da função $ f(x) = \frac{1}{4 - x} $, válida para $ |x| < 4 $. Para isso, vamos usar o conceito de Série de Maclaurin, que é uma maneira de representar funções como somas infinitas de potências de $ x $. Vamos precisar reescrever a função de forma que possamos aplicar a fórmula da série de Maclaurin.

Passo 2

Primeiro, vamos manipular a função $ f(x) = \frac{1}{4 - x} $ para se assemelhar a uma forma conhecida cuja série de Maclaurin já conhecemos. Podemos fatorar o denominador:
f(x) = 14 - x

Passo 3

Agora, observamos que temos a função $ \frac{1}{1 - u} $, cuja série de Maclaurin é conhecida:
11 - u
Aqui, $ u = \frac{x}{4} $. Então, substituindo:
11 - u = 1 + u + u^2 + u^3 + dots

Passo 4

Multiplicando tudo por $ \frac{1}{4} $ para voltar à nossa função original:
14
Vamos agora expandir isso até o quarto termo:
f(x) = 14 (1 + x4 + (x4)^2 + (x4)^3 + dots )

Resposta

A expansão em Série de Maclaurin até o quarto termo para $ f(x) = \frac{1}{4 - x} $ é:
f(x) = 14 - x

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