Encontre a expansão em Série de Taylor, até o quarto termo, para função:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a expansão em Série de Taylor da função $ f(x) = \sqrt{x-1} $ em torno de $ a = 2 $, até o quarto termo. Isso faz parte do conteúdo de cálculo, especificamente em séries de Taylor. Para isso, vamos precisar calcular algumas derivadas da função e aplicá-las na fórmula da série de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da Série de Taylor para uma função $ f(x) $ em torno de $ a $:
Como precisamos do quarto termo, vamos até a terceira derivada.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de $ f(x) = \sqrt{x-1} $.
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas em $ a = 2 $:
- $ f(2) $:
- $ f’(2) $:
- $ f’’(2) $:
- $ f’’’(2) $:
Passo 5
Agora, vamos montar a Série de Taylor usando os valores que encontramos:
Substituindo os valores:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
A expansão em Série de Taylor da função $ f(x) = \sqrt{x-1} $ em torno de $ a = 2 $, até o quarto termo, é: