Encontre a expansão em Série de Taylor, até o quarto termo, para função: f(x)=raizx-1 em a=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a expansão em Série de Taylor da função $ f(x) = \sqrt{x-1} $ em torno de $ a = 2 $, até o quarto termo. Isso faz parte do conteúdo de cálculo, especificamente em séries de Taylor. Para isso, vamos precisar calcular algumas derivadas da função e aplicá-las na fórmula da série de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da Série de Taylor para uma função $ f(x) $ em torno de $ a $:
f(x)
Como precisamos do quarto termo, vamos até a terceira derivada.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de $ f(x) = \sqrt{x-1} $.
  • Primeira derivada:
f(x) = raizx-1
  • Segunda derivada:
f'(x) = ddx (x-1)^1/2 = 12(x-1)^-1/2
  • Terceira derivada:
f''(x) = ddx ( 12(x-1)^-1/2 ) = -14(x-1)^-3/2

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas em $ a = 2 $:
  • $ f(2) $:
a = 2
  • $ f’(2) $:
f(2)
  • $ f’’(2) $:
f(2) = raiz2 - 1 = 1
  • $ f’’’(2) $:
f'(2)

Passo 5

Agora, vamos montar a Série de Taylor usando os valores que encontramos:
f(x) = f(2) + f'(2)(x - 2) + f''(2)2!(x - 2)^2 + f'''(2)3!(x - 2)^3 + cdots
Substituindo os valores:
f(x) = 1 + 12(x - 2) - 14 times 12(x - 2)^2 + 38 times 16(x - 2)^3
Simplificando os coeficientes:
f(x) = 1 + 12(x - 2) - 18(x - 2)^2 + 116(x - 2)^3

Resposta

A expansão em Série de Taylor da função $ f(x) = \sqrt{x-1} $ em torno de $ a = 2 $, até o quarto termo, é:
f(x) = raizx-1

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