Uma partícula se desloca no espaço. Em cada instante t o seu vetor posição é dado por: r(t)=(t cdot sen t) cdot imath+(t cdot cos t) cdot jmath+t^2 cdot k.
Determinar o vetor aceleração a da partícula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move no espaço, e a posição dela em cada instante de tempo t é dada pelo vetor r(t) = (t cdot sin t) cdot imath + (t cdot cos t) cdot jmath + t^2 cdot k. Nosso objetivo aqui é encontrar o vetor aceleração a dessa partícula. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a derivação de vetores para achar velocidade e aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade v(t) da partícula é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Ou seja:
v(t) = dr(t)dt
Então, vamos derivar cada componente de r(t) em relação a t.

Passo 3

Vamos derivar a componente em imath: t cdot sin t.
Usamos a regra do produto, que diz que a derivada de u cdot v é u' cdot v + u cdot v'.
Aqui, u = t e v = sin t, então:
ddt(t cdot sin t) = 1 cdot sin t + t cdot cos t = sin t + t cos t

Passo 4

Agora, vamos derivar a componente em jmath: t cdot cos t.
Aplicando novamente a regra do produto:
ddt(t cdot cos t) = 1 cdot cos t + t cdot (-sin t) = cos t - t sin t

Passo 5

Por último, vamos derivar a componente em k: t^2.
A derivada de t^2 em relação a t é simples:
ddt(t^2) = 2t

Passo 6

Agora que temos a derivada do vetor posição, montamos o vetor velocidade:
v(t) = (sin t + t cos t) cdot imath + (cos t - t sin t) cdot jmath + 2t cdot k

Passo 7

Aceleração a(t) é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja:
a(t) = dv(t)dt
Vamos derivar cada componente de v(t).

Passo 8

Derivando a componente em imath: sin t + t cos t.
A derivada de sin t é cos t e aplicamos a regra do produto para t cos t:
ddt(t cos t) = 1 cdot cos t + t cdot (-sin t) = cos t - t sin t
Então:
ddt(sin t + t cos t) = cos t + cos t - t sin t = 2 cos t - t sin t

Passo 9

Derivando a componente em jmath: cos t - t sin t.
A derivada de cos t é -sin t e aplicamos a regra do produto para -t sin t:
ddt(-t sin t) = -1 cdot sin t - t cdot cos t = -sin t - t cos t
Então:
ddt(cos t - t sin t) = -sin t - sin t - t cos t = -2 sin t - t cos t

Passo 10

Derivando a componente em k: 2t.
A derivada de 2t é:
ddt(2t) = 2

Passo 11

Agora, juntamos as derivadas para formar o vetor aceleração:
a(t) = (2 cos t - t sin t) cdot imath + (-2 sin t - t cos t) cdot jmath + 2 cdot k

Resposta

O vetor aceleração da partícula é:
a(t) = (2 cos t - t sin t) cdot imath + (-2 sin t - t cos t) cdot jmath + 2 cdot k

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