Uma partícula se desloca no espaço. Em cada instante
o seu vetor posição é dado por:
.
Determinar o vetor aceleração
da partícula.
Determinar o vetor aceleração
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move no espaço, e a posição dela em cada instante de tempo
é dada pelo vetor
. Nosso objetivo aqui é encontrar o vetor aceleração
dessa partícula. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a derivação de vetores para achar velocidade e aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade
da partícula é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Ou seja:
Então, vamos derivar cada componente de
em relação a
.
Passo 3
Vamos derivar a componente em
:
.
Usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Aqui,
e
, então:
Passo 4
Agora, vamos derivar a componente em
:
.
Aplicando novamente a regra do produto:
Passo 5
Por último, vamos derivar a componente em
:
.
A derivada de
em relação a
é simples:
Passo 6
Agora que temos a derivada do vetor posição, montamos o vetor velocidade:
Passo 7
Aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja:
Vamos derivar cada componente de
.
Passo 8
Derivando a componente em
:
.
A derivada de
é
e aplicamos a regra do produto para
:
Então:
Passo 9
Derivando a componente em
:
.
A derivada de
é
e aplicamos a regra do produto para
:
Então:
Passo 10
Derivando a componente em
:
.
A derivada de
é:
Passo 11
Agora, juntamos as derivadas para formar o vetor aceleração:
Resposta
O vetor aceleração da partícula é: