Uma partícula se desloca no espaço. Em cada instante
o seu vetor posição é dado por:
.
Determinar o vetor velocidade
da partícula.
Determinar o vetor velocidade
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos diz que uma partícula está se movendo no espaço e a posição dela em qualquer instante de tempo
é dada por um vetor
. Queremos descobrir o vetor velocidade
dessa partícula. Para isso, vamos usar o conceito de derivada de uma função vetorial em relação ao tempo, que nos dá a velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o vetor posição de maneira mais clara:
Aqui,
,
e
são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.
Passo 3
A velocidade
é a derivada de
em relação ao tempo
. Isso significa que vamos derivar cada componente de
separadamente.
Passo 4
Vamos começar derivando a componente na direção de
:
Para isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
. Aqui,
e
.
Então,
Portanto,
Passo 5
Agora, vamos derivar a componente na direção de
:
Aplicando a regra do produto novamente, onde
e
:
Então,
Passo 6
Por fim, vamos derivar a componente na direção de
:
Essa é uma derivada simples:
Passo 7
Agora, juntando todas as derivadas que calculamos, temos o vetor velocidade
:
Resposta
O vetor velocidade da partícula é: