Uma partícula se desloca no espaço. Em cada instante t o seu vetor posição é dado por: r(t)=(t cdot sen t) cdot imath+(t cdot cos t) cdot jmath+t^2 cdot k.
Determinar o vetor velocidade v da partícula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos diz que uma partícula está se movendo no espaço e a posição dela em qualquer instante de tempo t é dada por um vetor r(t). Queremos descobrir o vetor velocidade v dessa partícula. Para isso, vamos usar o conceito de derivada de uma função vetorial em relação ao tempo, que nos dá a velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o vetor posição de maneira mais clara:
r(t) = (t cdot sin t) cdot imath + (t cdot cos t) cdot jmath + t^2 cdot k
Aqui, imath, jmath e k são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.

Passo 3

A velocidade v(t) é a derivada de r(t) em relação ao tempo t. Isso significa que vamos derivar cada componente de r(t) separadamente.

Passo 4

Vamos começar derivando a componente na direção de imath:
ddt(t cdot sin t)
Para isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de u cdot v é u' cdot v + u cdot v'. Aqui, u = t e v = sin t.
Então,
ddt(t cdot sin t) = ddt(t) cdot sin t + t cdot ddt(sin t) = 1 cdot sin t + t cdot cos t
Portanto,
ddt(t cdot sin t) = sin t + t cos t

Passo 5

Agora, vamos derivar a componente na direção de jmath:
ddt(t cdot cos t)
Aplicando a regra do produto novamente, onde u = t e v = cos t:
ddt(t cdot cos t) = ddt(t) cdot cos t + t cdot ddt(cos t) = 1 cdot cos t + t cdot (-sin t)
Então,
ddt(t cdot cos t) = cos t - t sin t

Passo 6

Por fim, vamos derivar a componente na direção de k:
ddt(t^2)
Essa é uma derivada simples:
ddt(t^2) = 2t

Passo 7

Agora, juntando todas as derivadas que calculamos, temos o vetor velocidade v(t):
v(t) = (sin t + t cos t) cdot imath + (cos t - t sin t) cdot jmath + 2t cdot k

Resposta

O vetor velocidade da partícula é:
v(t) = (sin t + t cos t) cdot imath + (cos t - t sin t) cdot jmath + 2t cdot k

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