Encontre a expansão de Taylor em torno do ponto indicado.
f(x)=12 x+1 ; a=3
Resp.
i) 12 x+1=sumn=0^infty 2^n-1 cdot(x-3)^n-17^n ; -12

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a expansão de Taylor (ou série de potências) da função f(x)=12x+1 em torno de a=3. O conteúdo aqui é usar a transformação de variável para centralizar em x=3 e depois aplicar a série geométrica 1/(1+u)=sumn=0^infty(-1)^n u^n.

Passo 2

Definimos h=x-3, de modo que x=3+h. Então
2x+1=2(3+h)+1=7+2h, portanto
f(x)=12x+1=17+2h

Passo 3

Fatoramos 7 para obter a forma da série geométrica:
17+2h=17cdot11+2h7

Passo 4

Sabendo que para |u|<1 vale
11+u=sumn=0^infty(-1)^n u^n, substituímos u=2h7. Então
f(x)=17sumn=0^infty(-1)^nl(2h7r)^n

Passo 5

Por fim, voltamos a h=x-3 e simplificamos os fatores:
f(x)=sumn=0^infty(-1)^n2^n7^n+1(x-3)^n A condição de convergência |u|<1 vira |2h/7|<1, ou seja |x-3|, que dá -tfrac12.

Resposta

12x+1=sumn=0^infty(-1)^n2^n7^n+1(x-3)^n, -tfrac12

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