Encontre a expansão de Taylor em torno do ponto indicado.
f(x)=13 x ; a=2
Resp.
h) 13 x=13 sumn=0^infty (-1)^n cdot(x-2)^n2^n+1 ; 0

Passo 1

O enunciado pede a expansão de Taylor de f(x)=13x em torno de a=2. Vamos usar série de Taylor via série geométrica, já que fica mais rápido para essa função do que calcular várias derivadas.

Passo 2

Primeiro, manipulo f(x) para encaixar na forma 1/(1+u). Escrevo
f(x)=13x=13l(2+(x-2)r)=16+3(x-2)=16cdot11+x-22

Passo 3

Em seguida, lembro que para |u|<1 vale a série geométrica
11+u=sumn=0^infty(-1)^n u^n
Aqui identifico u=x-22. Substituindo, obtenho
f(x)=16sumn=0^infty(-1)^nl(x-22r)^n=sumn=0^infty(-1)^n(x-2)^n6cdot2^n

Passo 4

Por fim, simplifico o coeficiente: 6cdot2^n=3cdot2^n+1. Logo
f(x)=13sumn=0^infty(-1)^n2^n+1(x-2)^n

Passo 5

O raio de convergência vem de |(x-2)/2|<1, isto é, |x-2|<2 ou 0.

Resposta

f(x)=13sumn=0^infty(-1)^n(x-2)^n2^n+1, 0

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