Esboce o gráfico das funções (todas 2 pi - periódicas). Encontre a série de Fourier.
f(x)=x, -pi
Resp.
a) 2 cdot sumn=1^infty (-1)^n+1 cdot sen(n x)n

Passo 1

Estamos diante da função f(x)=x definida em -pi e estendida com período 2pi. O conteúdo é série de Fourier de uma função ímpar, e o gráfico periódico é uma onda dente de serra que sobe linearmente de -pi, -pi a pi, pi.

Passo 2

Como f(x) é ímpar, todos os coeficientes de cosseno se anulam. Logo, a0=0 e an=0 para todo n. Só teremos termos de seno.

Passo 3

Calculamos o coeficiente de seno bn pela definição
bn=1piintegral-pi^pixsen(n x),dx
Como xsen(n x) é par, podemos fazer
bn=2piintegral0^pixsen(n x),dx
Fazendo integração por partes com u=x e dv=sen(n x)dx, obtemos
integral0^pixsen(n x)dx=-xcos(n x)n|0^pi+1nintegral0^picos(n x)dx=-pi(-1)^nn
Então
bn=2pil(-pi(-1)^nnr)=2(-1)^n+1n

Passo 4

Assim, a série de Fourier de f(x) é apenas soma de senos:
f(x)=sumn=1^inftybnsen(n x)=2sumn=1^infty(-1)^n+1nsen(n x)

Resposta

2\sum_{n=1}{\infty}\frac{(-1){n+1}}{n}\operatorname{sen}(n x)

Exercícios relacionados