Encontre a expansão de Taylor em torno do ponto indicado.
f(x)=raizx ; a=9
Resp.
a) raizx=3+x-96+sum (-1)^n+1 cdot(x-9)^n cdot[1 cdot 3 cdot 5 cdot 7 ldots(2 n-1)]n!2^n 3^2 n-1

Passo 1

O enunciado pede a expansão de Taylor de f(x)=√x em torno de a=9. Vamos usar a fórmula geral de Taylor, que requer as derivadas de f avaliadas em x=9.

Passo 2

Para f(x)=x^{1/2}, a n‐ésima derivada geral é
f^(n)(x)=l(tfrac12r)l(tfrac12-1r)l(tfrac12-2r)cdotsl(tfrac12-n+1r),x^tfrac12-n

Passo 3

Avaliar em x=9: note que 9{1/2-n}=3{1-2n}. O produto de fatores meia‐inteiros pode ser escrito como
l(tfrac12r)l(-tfrac12r)l(-tfrac32r)cdotsl(tfrac12-n+1r)=(-1)^n-11cdot3cdot5cdots(2n-3)2^n
Assim
f^(n)(9)=(-1)^n-11cdot3cdots(2n-3)2^n,3^1-2n

Passo 4

A fórmula de Taylor é
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(9)n!(x-9)^n
Substituindo f(9)=3 e f’(9)=1/(2·3)=1/6, além da expressão de f^{(n)}(9) para n\ge2, e reescrevendo 1·3·5·…·(2n-1)=(2n-1)!!, chega-se a

Passo 5

raizx=3+x-96+sumn=2^infty(-1)^n+1,(x-9)^n,l(1cdot3cdot5cdots(2n-1)r)n!,2^n,3^2n-1

Resposta

Exercícios relacionados