Encontre a expansão de Taylor em torno do ponto indicado.
Resp.
a)
Resp.
a)
Passo 1
O enunciado pede a expansão de Taylor de f(x)=√x em torno de a=9. Vamos usar a fórmula geral de Taylor, que requer as derivadas de f avaliadas em x=9.
Passo 2
Para f(x)=x^{1/2}, a n‐ésima derivada geral é
Passo 3
Avaliar em x=9: note que 9{1/2-n}=3{1-2n}. O produto de fatores meia‐inteiros pode ser escrito como
Assim
Passo 4
A fórmula de Taylor é
Substituindo f(9)=3 e f’(9)=1/(2·3)=1/6, além da expressão de f^{(n)}(9) para n\ge2, e reescrevendo 1·3·5·…·(2n-1)=(2n-1)!!, chega-se a