Encontre as expansões das funções abaixo para torna-las par e depois para torna-las ímpar.

Passo 1

Temos a função f(x)= sin x no intervalo 0<x<π e queremos dois “aprofundamentos”: seu prolongamento par (série de cossenos em (−π,π)) e seu prolongamento ímpar (série de senos em (−π,π)).

Passo 2

Para a extensão par, definimos f_even(x)=f(|x|)= sin|x|, que é par em (−π,π), e a expandimos em série de Fourier de cossenos: tudo reduz aos coeficientes a_0 e a_n.
Calculamos primeiro a_0 e depois a_n:
a0=1πintegral0^πsin x,dx=2π, an=2πintegral0^πsin xcos(nx),dx

Passo 3

Usando identidades de integrais de sen e cos, chega-se a
an=-2π1+(-1)^nn^2-1, o que implica a_n=0 para n ímpar e para n=2k
a2k=-4π(4k^2-1)

Passo 4

Logo a série de cossenos é
sin|x|=a02+sumn=1^infty ancos(nx)=1π-4πsumk=1^inftycos(2k x)4k^2-1

Passo 5

Para a extensão ímpar, definimos f_odd(x)=\sin x no (0,π) e f_odd(x)=-f(-x) em (−π,0), obtendo a função ímpar f_odd(x)=\sin x em (−π,π). Expandimos em série de senos:
bn=2πintegral0^πsin xsin(nx),dx, e pela ortogonalidade b_1=1 e b_{n\ne1}=0, de modo que a série é apenas sin x.

Resposta

Extensão par (série de cossenos):
sin|x|=1π-4πsumk=1^inftycos(2k x)4k^2-1
Extensão ímpar (série de senos):
sin x=sumn=1^infty bnsin(nx), b1=1, bnne1=0,
o que equivale a simplesmente sin x.

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