Encontre as expansões das funções abaixo para torna-las par e depois para torna-las ímpar.
Passo 1
Temos a função f(x)=
no intervalo 0<x<π e queremos dois “aprofundamentos”: seu prolongamento par (série de cossenos em (−π,π)) e seu prolongamento ímpar (série de senos em (−π,π)).
Passo 2
Para a extensão par, definimos f_even(x)=f(|x|)=
, que é par em (−π,π), e a expandimos em série de Fourier de cossenos: tudo reduz aos coeficientes a_0 e a_n.
Calculamos primeiro a_0 e depois a_n:
Calculamos primeiro a_0 e depois a_n:
Passo 3
Usando identidades de integrais de sen e cos, chega-se a
Passo 4
Logo a série de cossenos é
Passo 5
Para a extensão ímpar, definimos f_odd(x)=\sin x no (0,π) e f_odd(x)=-f(-x) em (−π,0), obtendo a função ímpar f_odd(x)=\sin x em (−π,π). Expandimos em série de senos:
Resposta
Extensão par (série de cossenos):
Extensão ímpar (série de senos):
o que equivale a simplesmente
.