Encontre as expansões das funções abaixo para torna-las par e depois para torna-las ímpar.
0, & 0

Passo 1

Temos a função definida em 0<x<2π por
f(x)=0,&0
O objetivo é obter as expansões em série de Fourier para a extensão par (só cossenos) e para a extensão ímpar (só senos) numa meia-intervalo [0,L] com L=2π.

Passo 2

Para a extensão par usamos a série cosseno (half–range cosine series) em [0,2π]:
fpar(x)=a02+sumn=1^infty ancosnpi xL,
onde
a0=2Lintegral0^L f(x),dx, an=2Lintegral0^L f(x)cosnpi xL,dx
Aqui L=2π.

Passo 3

Calculamos primeiro
a0=22piintegral0^2pif(x),dx=1piintegralpi^2pi(x-pi),dx =1picdot(x-pi)^22|pi^2pi=1picdotpi^22=pi2
Logo o termo constante vale a0/2=pi/4.

Passo 4

Para an usamos integração por partes em
an=22piintegralpi^2pi(x-pi)cosn x2,dx =1piintegralpi^2pi(x-pi)cosn x2,dx
Fazendo partes e avaliando os limites, obtemos
an=4pi n^2l[(-1)^n-cosnpi2r]

Passo 5

Assim a expansão par (só cossenos) é
fpar(x)=pi4+sumn=1^infty4pi n^2l[(-1)^n-cosnpi2r]cosn x2

Passo 6

Para a extensão ímpar usamos a série seno (half–range sine series):
fimpar(x)=sumn=1^infty bnsinnpi xL, bn=2Lintegral0^L f(x)sinnpi xL,dx

Passo 7

Calculando
bn=1piintegralpi^2pi(x-pi)sinn x2,dx
por partes chega-se a
bn=-2(-1)^nn-4pi n^2sinnpi2

Passo 8

Logo a expansão ímpar (só senos) é
fimpar(x)=sumn=1^inftyl[-2(-1)^nn-4pi n^2sinnpi2r]sinn x2

Resposta

Para extensão par:
fpar(x)=pi4+sumn=1^infty4pi n^2l[(-1)^n-costfracnpi2r]costfracn x2
Para extensão ímpar:
fimpar(x)=sumn=1^inftyl[-tfrac2(-1)^nn-tfrac4pi n^2sintfracnpi2r]sintfracn x2

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