Encontre as expansões das funções abaixo para torna-las par e depois para torna-las ímpar.
1, & 0

Passo 1

O enunciado dá uma função definida em (0,2) por partes e pede para construirmos suas extensões periódicas de período 4 que sejam, primeiro, pares e depois ímpares. Vamos usar a teoria de extensão de uma função f em [0,L] (aqui L=2) para (-L,L) de forma que a nova função seja par (f_e) ou ímpar (f_o).

Passo 2

Para a extensão par f_e(x), usamos a definição f_e(x)=f(x) para x∈[0,2] e f_e(−x)=f(x) para x∈[0,2], de modo que f_e(−x)=f_e(x). A partir disso repetimos com período T=4.
Aplicando ao nosso f, para −2<x<0 temos f_e(x)=f(−x). Assim
fe(x)=1,&-1

Passo 3

Note que podemos resumir escrevendo em função de |x|:
fe(x)=1,&|x|<1,2-|x|,&1<=|x|<2,com período 4í

Passo 4

Para a extensão ímpar f_o(x), definimos f_o(x)=f(x) para x∈[0,2] e f_o(−x)=−f(x) para x∈[0,2], de modo que f_o(−x)=−f_o(x). Novamente o período é 4.
Aplicando ao nosso f, para −2<x<0 temos f_o(x)=−f(−x). Assim
fo(x)=-1,&-1

Passo 5

Também dá para resumir em função de |x| e sinaleira:
fo(x)=sgn(x),f(|x|)=f(x),&x>0,-f(-x),&x<0,com período 4í

Resposta

Extensão par (período 4):
$$f_e(x)= fe(x)=1,&|x|<1,2-|x|,&1<=|x|<2, fe(x+4)=fe(x) \quad f_e(x+4)=f_e(x).
fo(x)=1,&0ãííf_o(x)= \quad f_o(x+4)=f_o(x).
$$

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