Encontre as expansões das funções abaixo para torna-las par e depois para torna-las ímpar.
Passo 1
Temos a função f(x)=x^2+x definida em 0<x<1 e queremos construir duas séries de Fourier em (-1,1): uma que seja par (série de cossenos) e outra que seja ímpar (série de senos). Vamos precisar da definição das extensões par e ímpar e das fórmulas dos coeficientes de Fourier.
Passo 2
Para a extensão par (série de cossenos), definimos f_e(x)=f(|x|). A série de Fourier em cossenos é dada por f_e(x)=a_0/2+∑_{n=1}^∞ a_n cos(nπx), onde
Após lembrar que
Após lembrar que
calculamos primeiro
Passo 3
Em seguida, escrevemos
Passo 4
Para a extensão ímpar (série de senos), definimos f_o(x)=sgn(x)·f(|x|). A série de Fourier em senos é f_o(x)=∑_{n=1}^∞ b_n sin(nπx), com
Passo 5
Fazendo integrações por partes, achamos
Resposta
Expansão par (série de cossenos):
Expansão ímpar (série de senos):