Encontre as expansões das funções abaixo para torna-las par e depois para torna-las ímpar.

Passo 1

Temos a função f(x)=x^2+x definida em 0<x<1 e queremos construir duas séries de Fourier em (-1,1): uma que seja par (série de cossenos) e outra que seja ímpar (série de senos). Vamos precisar da definição das extensões par e ímpar e das fórmulas dos coeficientes de Fourier.

Passo 2

Para a extensão par (série de cossenos), definimos f_e(x)=f(|x|). A série de Fourier em cossenos é dada por f_e(x)=a_0/2+∑_{n=1}^∞ a_n cos(nπx), onde
Após lembrar que
a0=2integral0^1 f(x),dx, an=2integral0^1 f(x)cos(npi x),dx,
calculamos primeiro
integral0^1(x^2+x),dx=l[x^33+x^22r]0^1=13+12=56,logo
a0=2cdot56=53, a02=56

Passo 3

Em seguida, escrevemos
an=2integral0^1(x^2+x)cos(npi x),dx=2l(Jn+Inr),onde
In=integral0^1 xcos(npi x),dx=(-1)^n-1n^2pi^2, Jn=integral0^1 x^2cos(npi x),dx=2(-1)^nn^2pi^2Substituindo, obtemos
an=6(-1)^n-2n^2pi^2=2(3(-1)^n-1)n^2pi^2

Passo 4

Para a extensão ímpar (série de senos), definimos f_o(x)=sgn(x)·f(|x|). A série de Fourier em senos é f_o(x)=∑_{n=1}^∞ b_n sin(nπx), com
bn=2integral0^1(x^2+x)sin(npi x),dx

Passo 5

Fazendo integrações por partes, achamos
integral0^1 xsin(npi x),dx=-(-1)^nnpi, integral0^1 x^2sin(npi x),dx=-(-1)^nnpi+2((-1)^n-1)n^3pi^3,e assim
bn=-4(-1)^nnpi+4((-1)^n-1)n^3pi^3

Resposta

Expansão par (série de cossenos):
x^2 + x = 56 + sumn=1^infty 2l(3(-1)^n - 1r)n^2 pi^2 cos(npi x)
Expansão ímpar (série de senos):
x^2 + x = sumn=1^infty l(-4(-1)^nnpi + 4((-1)^n - 1)n^3 pi^3r) sin(npi x)

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