Encontre as expansões das funções abaixo para torna-las par e depois para torna-las ímpar.
Passo 1
Esse exercício pede para construir as expansões par e ímpar de uma função dada por partes em (0,2). O conteúdo é extensão de funções para obter simetria par (f(−x)=f(x)) ou ímpar (f(−x)=−f(x)), e vamos precisar usar as definições f_e(x)=f(|x|) e f_o(x)=sgn(x)·f(|x|).
Passo 2
Para gerar a extensão par, aplicamos f_e(x)=f(|x|). Ou seja, para qualquer x em (−2,2) temos que olhar o valor de |x| no intervalo original (0,2) e atribuir f_e(x)=f(|x|).
Analisando os casos de |x| em (0,2): se 0<|x|<1, então f(|x|)=|x|; se 1≤|x|<2, então f(|x|)=1. Logo
Analisando os casos de |x| em (0,2): se 0<|x|<1, então f(|x|)=|x|; se 1≤|x|<2, então f(|x|)=1. Logo
Passo 3
A extensão ímpar é dada por f_o(x)=sgn(x)·f(|x|). Novamente avaliamos f(|x|) nos mesmos dois subintervalos de |x| e multiplicamos por sgn(x), que é +1 para x>0 e −1 para x<0.
Passo 4
Concluindo, a função par fica dependente de |x| e a ímpar de sgn(x)·f(|x|).
Resposta
Função par f_e(x) em −2<x<2:
Função ímpar f_o(x) em −2<x<2: