Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades:
(A cup B) cup C=A cup(B cup C) (associativa)

Passo 1

O enunciado pede para provar a propriedade associativa da união de conjuntos, ou seja, que qualquer que seja o elemento x, ele pertence a (A cup B) cup C se e somente se pertence a A cup (B cup C). Vamos usar o método elemento-a-elemento, que é padrão em teoria de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, mostramos que (A cup B) cup C subseteq A cup (B cup C).
Suponha que
x in (A cup B) cup C
Pela definição de união, isso significa que ou x in A cup B ou x in C.
Se x in A cup B, então, novamente pela definição de união, ou x in A ou x in B. Em qualquer desses casos, temos:
  • se x in A, então claro x in A, logo x in A cup (B cup C);
  • se x in B, então x in B cup C, logo x in A cup (B cup C).
Se x in C, então x in B cup C, e daí x in A cup (B cup C).
Em todas as possibilidades, concluímos que
x in A cup (B cup C)
Portanto (A cup B) cup C subseteq A cup (B cup C).

Passo 3

Agora mostramos a inclusão inversa A cup (B cup C) subseteq (A cup B) cup C.
Suponha que
x in A cup (B cup C)
Então ou x in A ou x in B cup C.
Se x in A, então x in A cup B, o que implica x in (A cup B) cup C.
Se x in B cup C, então ou x in B ou x in C.
  • Se x in B, então x in A cup B, logo x in (A cup B) cup C.
  • Se x in C, então imediatamente x in (A cup B) cup C.
Assim, em todas as situações, x in (A cup B) cup C.
Logo A cup (B cup C) subseteq (A cup B) cup C.

Passo 4

Como temos as duas inclusões
(A cup B) cup C subseteq A cup (B cup C)
e
A cup (B cup C) subseteq (A cup B) cup C,
concluímos que
(A cup B) cup C = A cup (B cup C)

Resposta

(A cup B) cup C = A cup (B cup C).

Exercícios relacionados