Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades:
(associativa)
Passo 1
O enunciado pede para provar a propriedade associativa da união de conjuntos, ou seja, que qualquer que seja o elemento x, ele pertence a
se e somente se pertence a
. Vamos usar o método elemento-a-elemento, que é padrão em teoria de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, mostramos que
.
Suponha que
Pela definição de união, isso significa que ou
ou
.
Se
, então, novamente pela definição de união, ou
ou
. Em qualquer desses casos, temos:
- se
, então claro , logo ; - se
, então , logo .
Se
, então
, e daí
.
Em todas as possibilidades, concluímos que
Portanto
.
Passo 3
Agora mostramos a inclusão inversa
.
Suponha que
Então ou
ou
.
Se
, então
, o que implica
.
Se
, então ou
ou
.
- Se
, então , logo . - Se
, então imediatamente .
Assim, em todas as situações,
.
Logo
.
Passo 4
Como temos as duas inclusões
e
concluímos que