Encontre uma expressão cartesiana e esboce as superfícies dadas por :
.
Passo 1
O enunciado nos dá a parametrização
e pede (1) uma expressão cartesiana e (2) um esboço da superfície. O conteúdo é a conversão de coordenadas polares (ou cilíndricas) para cartesianas.
Passo 2
Na parametrização identificamos
logo, somando os quadrados,
Como
, podemos escrever
.
Passo 3
O terceiro componente nos dá
Substituindo
, obtemos a equação cartesiana
válida para
.
Passo 4
Para esboçar:
— É uma superfície de revolução em torno do eixo .
— Quando , temos
(forma de “bico” agudo).
— Quando ,
(aproxima-se do plano
).
O gráfico lembra um “funil” invertido que vai do plano para o infinito conforme nos aproximamos de
.
— É uma superfície de revolução em torno do eixo
— Quando
— Quando
O gráfico lembra um “funil” invertido que vai do plano