Encontre uma expressão cartesiana e esboce as superfícies dadas por :
sigma(u, v)=(v cos u, v sen u, 1v^2), 0 <= u <= 2 pi, v>0.

Passo 1

O enunciado nos dá a parametrização
sigma(u,v)=l(vcos u,;vsen u,;tfrac1v^2r), 0<= u<=2pi,;v>0,
e pede (1) uma expressão cartesiana e (2) um esboço da superfície. O conteúdo é a conversão de coordenadas polares (ou cilíndricas) para cartesianas.

Passo 2

Na parametrização identificamos
x = vcos u, y = vsen u,
logo, somando os quadrados,
x^2 + y^2 = v^2
Como v>0, podemos escrever v = raizx^2+y^2.

Passo 3

O terceiro componente nos dá
z = 1v^2
Substituindo v^2 = x^2 + y^2, obtemos a equação cartesiana
z = 1x^2 + y^2,
válida para x^2+y^2>0.

Passo 4

Para esboçar:
— É uma superfície de revolução em torno do eixo z.
— Quando r=raizx^2+y^2to0, temos zto+infty (forma de “bico” agudo).
— Quando rto+infty, zto0^+ (aproxima-se do plano z=0).
O gráfico lembra um “funil” invertido que vai do plano z=0 para o infinito conforme nos aproximamos de (0,0).

Resposta

z = 1x^2 + y^2, x^2+y^2>0

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