Determine se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty |cosec n|n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty|csc n|n
O conteúdo aqui é análise da convergência de séries pelo teste da divergência (ou teste do termo geral).

Passo 2

Lembramos que um teste necessário para uma série sum an convergir é
limntoinftyan = 0
Se limntoinftyanneq 0 (ou não existir), então a série diverge.

Passo 3

No nosso caso, an = dfrac|csc n|n = dfrac1n,|sin n|.
Para mostrar que an não tende a zero, basta encontrar uma subsequência nk com ank>=1 para todo k.
Como os números n (em radianos) são “distribuídos” de forma densa em relação a pi, existe uma infinidade de índices n tais que
|sin n|<= 1n
Para esses n temos
an = 1n,|sin n|>= 1ncdot(1/n) = 1
Portanto não existe limntoinftyan = 0; em vez disso an assume valores ≥ 1 infinita vezes.

Passo 4

Como o termo geral an não tende a zero, pelo teste da divergência concluímos que a série
sumn=1^infty|csc n|n
diverge.

Resposta

A série diverge.

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