Determine se a série dada é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
O conteúdo aqui é análise da convergência de séries pelo teste da divergência (ou teste do termo geral).
Passo 2
Lembramos que um teste necessário para uma série
convergir é
Se
(ou não existir), então a série diverge.
Passo 3
No nosso caso,
.
Para mostrar que não tende a zero, basta encontrar uma subsequência
com
para todo
.
Para mostrar que
Como os números
(em radianos) são “distribuídos” de forma densa em relação a
, existe uma infinidade de índices
tais que
Para esses
temos
Portanto não existe
; em vez disso
assume valores ≥ 1 infinita vezes.
Passo 4
Como o termo geral
não tende a zero, pelo teste da divergência concluímos que a série
diverge.
Resposta
A série diverge.