Encontre f^(n)(x) se f(x)=1 /(2-x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ordem n da função
f(x)=12 - x
O conteúdo aqui é a derivação de uma função do tipo u(x)^m usando a regra da cadeia. Vamos reescrever f(x) como potência e depois extrair um padrão nos primeiros casos.

Passo 2

Reescrevendo em forma de potência, temos
f(x) = (2 - x)^-1
Aplicando a regra da cadeia, para a primeira derivada:
f'(x) = -1,(2 - x)^-2cdotddx(2 - x) = -1,(2 - x)^-2cdot(-1) = (2 - x)^-2

Passo 3

Vamos calcular mais algumas derivadas para ver o padrão:
f''(x) = ddxl[(2 - x)^-2r] = -2,(2 - x)^-3cdot(-1) = 2,(2 - x)^-3,
f^(3)(x) = ddxl[2,(2 - x)^-3r] = 2cdotl(-3,(2 - x)^-4r)cdot(-1) = 2cdot3,(2 - x)^-4 = 3!,(2 - x)^-4
Percebemos que a cada derivação multiplica-se pelo expoente atual e aumenta-se em 1 o expoente de (2-x).

Passo 4

Por indução ou observação geral, a derivada de ordem n será
f^(n)(x) = n!,(2 - x)^-,n-1 = n!(2 - x)^n+1

Resposta

f^(n)(x) = n!(2 - x)^n+1

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