Encontre uma expressão para o comprimento do arco da parábola y=x^2 no intervalo [ 0, a].

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o comprimento de arco da parábola y = x² no intervalo [0, a]. Esse problema cai em cálculo integral, mais especificamente em comprimento de curva. Vamos usar a fórmula de comprimento de arco para uma função y(x):
L = integralx1^x2 raiz1 + l(tfracdydxr)^2,dx

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada de y = x² em relação a x. Temos
dydx = 2x
Substituindo na fórmula do comprimento de arco, obtemos
L = integral0^a raiz1 + (2x)^2,dx = integral0^a raiz1 + 4x^2,dx

Passo 3

Agora precisamos resolver a integral
integral raiz1 + 4x^2,dx
Fazemos a substituição u = 2x, logo du = 2,dx, ou dx = du/2. Assim,
integral raiz1 + 4x^2,dx = integral raiz1 + u^2,du2 = 12 integral raiz1 + u^2,du
Lembrando que
integral raiz1 + u^2,du = u2raiz1 + u^2 + 12 lnl(u + raiz1 + u^2r) + C,
seguimos e obtemos
integral raiz1 + 4x^2,dx = u4raiz1 + u^2 + 14lnl(u + raiz1 + u^2r) + C
Voltando a x (u = 2x):
integral raiz1 + 4x^2,dx = x2raiz1 + 4x^2 + 14 lnl(2x + raiz1 + 4x^2r) + C

Passo 4

Finalmente, aplicamos os limites de 0 a a nessa primitiva. Para x = a e x = 0, temos
L = l[x2raiz1 + 4x^2 + 14 lnl(2x + raiz1 + 4x^2r)r]0^a = a2raiz1 + 4a^2 + 14lnl(2a + raiz1 + 4a^2r)

Resposta

L = \frac{a}{2}\sqrt{1 + 4a^2} + \tfrac{1}{4}\ln\bigl(2a + \sqrt{1 + 4a^2}\bigr).

Exercícios relacionados