Encontre uma expressão para o comprimento do arco da parábola
no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o comprimento de arco da parábola y = x² no intervalo [0, a]. Esse problema cai em cálculo integral, mais especificamente em comprimento de curva. Vamos usar a fórmula de comprimento de arco para uma função y(x):
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada de y = x² em relação a x. Temos
Substituindo na fórmula do comprimento de arco, obtemos
Passo 3
Agora precisamos resolver a integral
Fazemos a substituição u = 2x, logo du = 2,dx, ou dx = du/2. Assim,
Lembrando que
seguimos e obtemos
Voltando a x (u = 2x):
Passo 4
Finalmente, aplicamos os limites de 0 a a nessa primitiva. Para x = a e x = 0, temos
Resposta
L = \frac{a}{2}\sqrt{1 + 4a^2} + \tfrac{1}{4}\ln\bigl(2a + \sqrt{1 + 4a^2}\bigr).